Nichtlineare DGL lösen. Ansatz

Question

Hallo wieder einmal,

ich bräuchte Hilfe bei folgender DGL

Ich weiß, dass wenn ich u(x) ableite, hätte ich genau die Gleichung, die ganz vorne steht. Aber bringt mir das was? Wenn ja, wie bringe ich es in Verbindung? Danke :)

  (a) Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
$$ 3 y^{2} y^{\prime}=2 x\left(1+y^{3}\right)+e^{\left(x^{2}\right)} $$
Verwenden Sie die Substitution \( u(x)=1+y(x)^{3}, \) um die nichtlineare Differentialgleichung auf eine lineare zu transformieren.

Comments

Erhalte die lineare DGL \(\large u'(x)=2xu(x)+e^{x^2}\).

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Danke erstmal.

Was passiert mit den 3y²y' ?

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\(3y^2y'\) wird durch \(u'(x)\) ersetzt.

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Ok danke dir.

ist dann aber e^x² eine Störfunktion und kann weggelassen werden oder mitnehmen? Denn wie integriere ich es dann?

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Löse zunächst die homogene DGL und wende dann z:B. die Methode der Variation der Konstanten an..

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Ich komme auf das hier. Es ist wahrscheinlich falsch aber ich bin mir auch nicht sicher was ich darf und was nicht...

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So mein ich. Bitte korrigiere wenn ich falsch liege.

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$$u'=2xu\Rightarrow \frac{u'}u=2x\Rightarrow u(x)=Ce^{x^2}.$$Löse nun die inhomogene DGL nach der erwähnten Methode.

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1. Warum ist mein Weg falsch?

2. warum hast du jetzt u(x) = Ce^x²

Sry dass ich immer frage aber ich wills verstehen

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$$u'=2xu$$$$\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=2xu$$Trennung der Variablen$$\frac{\mathrm du}u=2x\,\mathrm dx$$Integrieren$$\log u=x^2+c$$$$u=e^{x^2+c}$$$$u=Ce^{x^2}.$$

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Stimmt. Hast völlig Recht. Danke dir mein Freund. :)

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und das jetzt ableiten und in die Funktion oben von u'=2xu einsetzen richtig?

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Ja. Beachte aber, dass \(C\) nun keine Konstante, sondern eine Funktion von \(x\) ist.

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Ja also so oder?

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Du hast jetzt noch die Störfunktion vergessen: Löse \(u'=2xu+e^{x^2}\).
Sollte \(C'=1\), also \(C=x+K\) liefern.

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Letzte Frage: :) :)

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Nach der ersten Zeile noch nicht, aber mit der vorletzten.

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Deinem Kommentar nach müsste es also auch richtig sein? :)

Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast. Sehr gute Hilfe von dir.

Answer 1

2.Möglichkeit

das ist eine Bernoulli- DGL.

Comments

Hey danke dir für den Aufwand. Sehr verständlich gerechnet. :)

Allerdings muss ich die angegebene Substitution verwenden -.-

Aber ich merke mir deinen Weg auf jeden Fall