Cauchy Integralformel wie Nenner bestimmen?

Question

 Ich habe als kurve 2+e^{it} gegeben. Jetzt soll ich das integral von e^z/(2z) bestimmten mit der Cauchy Integralformel

Ich versteh nur nicht wie ich an den Nenner ( das tetta  - z (siehe Formel https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel )) rankomme

Danke

Answer 1

 die Kurve 2+e^it stellt in der komplexen Ebene einen Einheitskreis um z=2 dar.

f(z)=e^z/2 ist holomorph innerhalb des Kreises mit Radius 3 um z=2 (Darin ist auch z=0 enthalten) 

Daher kann die Cauchy-Integralformel angewendet werden:

f(a)=1/(2*π*i)∫_S1(2) f(z)/(z-a)dz Setze a=0 (a∈Kreis mit Radius 3 um z=2)

-->f(0)=1/2=1/(2*π*i)∫_S1(2) e^z/(2z)dz

--> ∫_S1(2) e^z/(2z)=1/2*2*π*i=π*i

Comments

Wie kommen Sie auf den Radius ?

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Mir fällt gerade auch auf das hätte 2i + e^{it} sein müssen aber das dürfte keinen unterschied machen

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e^{it} hat den Radius r₁=1, weil |e^{it}|=√[e^{it}*e^{-it}]=1

Der Kreis mit Radius r₂=3 ist willkürlich gewählt, es muss lediglich gelten r₂>r₁, da  e^z/2 auf ganz ℂ^2 komplex diffbar ist. Ziel davon war bloß z=0 als Element darin zu haben. Dann kann der Satz angewendet werden.

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Das 2*i anstatt 2 sollte wirklich nichts ändern, da die beiden betrachteten Radien dann auch noch stimmen (allerdings ist die Kurve dann ein Einheitskreis mit Radius 1 um 2i)

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Was wenn ich keine e funktion habe sondern  z.b 3z/(z-4)^2 ? Wie ist da die Vorgehensweise

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Da betrachtest du die Funktion f(z)=3z^2/(z-4)^2

Diese Funktion ist im Kreis mit Radius 3 um 2i holomorph.

Du kannst also wieder a=0 wählen und in die Formel einsetzen, im Integranten ergibt sich dann   3z/(z-4)²

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Warum multipliziere ich den Zähler mit z?

Müsste ich im integranten nicht 3/(z-4)^2 haben ?

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Deine Ausgangsfunktion ist z/(z-4)^2.

Für das Kurvenintegral muss also im Integranten z/(z-4)^2 stehen.

Da aber in der Cauchy-Integralformel durch (z-a)=z (weil ich a=0 wähle) geteilt werden wird, müssen wir vorher mit z multiplizieren und dann z^2/(z-4)^2 für die Holomorphie betrachten. Ziel ist es sich das Kurvenintegral mithilfe der  Cauchy-Integralformel   "zusammenzubauen".

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Vielen Dank für die Hilfe !