Nullstelle mit Vielfachheiten

Question

Ich verstehe das mit den Vielfachheiten von Nullstellen nicht

Ein Beispiel

f(x) = a (x-3) ( x-4)

So kann man die Nullstellen einfach Ablesen

N1 ( 0/3) N2 (0/4)

Aber was ist wenn jetzt die Vielfachheit 3 ist ( ich weiß wann welche Vielfachheit dran kommt)

f(x) =a (x-3)³ (x-4)³

Wie lautet die Lösung und was bringen mir diese Vielfachheiten

Answer 1

auch bei mehrfachen Nullstellen kann man genauso ablesen wie bei einfachen Nullstellen:

f(x) =a (x-3)³ (x-4)³ 

--> (x-3)^3=0 --> (x-3)=0 ---> x=3

       (x-4)^3=0 --> x=4

An der Vielfachheit kannst du erkennen,um was für eine Art Nullstelle es sich handelt:

Bei ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die x-Achse in der Nullstelle,es gibt einen Vorzeichenwechsel.

Bei mehrfachen Nullstellen berührt der Graph lediglich die x-Achse (es liegt ein Extremum vor).

 Bsp:

~plot~ (x-0.5)*(x-1)^2*(x-3)^3 ~plot~

Answer 2

Vielfachheit 1: Nullstelle der  Funktion aber nicht einer Ableitung
Vielfachheit 2: Nullstelle der  Funktion und der ersten Ableitung aber nicht der zweiten Ableiung (Extremum)
Vielfachheit 3: Nullstelle der  Funktion sowie der ersten und zweiten Ableitung aber nicht der dritten Ableitung (Saltelpunkt).
Gerade Vielfachheit: Extremum
Ungerade Vielfachheit ≥3: Sattelpunkt