Nullstelle der Funktion f(x) = 8/3x^3 - x^2 (Berechnung in Kurvendiskussion)

Question

Aufgabe:

Nullstelle der Funktion f(x) = 8/3x^3 - x^2

Problem/Ansatz:

Für die Kurvendiskussion brauchen wir die Nullstellen, weiß leider nicht wie es klappt. Folgende Verfahren kennen wir zur Berechnungen: Ausklammern, Polynomdivision, Substitutionsverfahren, Mitternachtsformel

Answer 1

Nullstelle der Funktion f(x)= 8/3x³ - x².

Gleichung

        \(\frac{8}{3}x^3 - x^2 = 0\)

lösen. Es ist wichtig, dass du diese Gleichung auch tatsächlich so hinschreibst. Sonst Punktabzug.

Ausklammern, Polynomdivision, Substitutionsverfahren, Mitternachtsformel

Ausklammern. Das ist immer dann der richtige Weg, wenn anschließend der Satz vom Nullprodukt angewendeet werden kann.

Wenn du \(x^2\) ausklammerst, dann bekommst du

      \(x^2\cdot\left(\frac{8}{3}x - 1\right) = 0\).

Jetzt hast du ein Nullprodukt, kannst also den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Answer 2

Bei der gegebenen Funktion \(f(x)\)  lässt sich \(x^2\) wie gezeigt ausklammern.

Ich verschiebe nun den Graph von \(f(x)\) um \( \frac{1}{48} \) nach oben:

\(p(x)=\frac{8}{3}x^3-x^2+\frac{1}{48}\)

\(\frac{8}{3}x^3-x^2+\frac{1}{48}=0\)

Nun lässt sich  \(x^2\) nicht mehr ausklammern. Das führt zu einem anderen Verfahren:

\(p'(x)=8x^2-2x\)

\(8x^2-2x=0\)

\(4x^2-x=0\) →   \(x\) ausklammern:

\(x(4x-1)=0\)

Eine Extremstelle ist nun bei \(x_1=0\)  → \(p(0)=\frac{1}{48}\)

Eine weitere bei \(x_2=\frac{1}{4}\)   → \(p(\frac{1}{4})=\frac{8}{3} \cdot (\frac{1}{4})^3-(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{48}=0\)

Hier existiert nun eine doppelte Nullstelle (Extremwert)

Polynomdivision:

\((\frac{8}{3}x^3-x^2+\frac{1}{48}):(x-\frac{1}{4})^2=(\frac{8}{3}x^3-x^2+\frac{1}{48}):(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16})=\frac{8}{3}x+\frac{1}{3}\)

Die 3. Nullstelle liegt nun bei \(x_3=-\frac{1}{8}\) Sie ist einfach.

Comments

Der Sinn deiner mir absurd erscheinenden Antwort erschließt sich mir nicht.

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@Apfelmännchen und @MontyPython:

Jetzt ist es wohl ersichtlich, welche Motivation mich zu der " geänderten Funktion" geführt hat.

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Nicht wirklich. 1. Muss man dazu wissen, wie man die Funktion verschieben muss. 2. Berechnest du dann die Extremstelle, um zu zeigen, dass sie auch eine Nullstelle ist. Dann kann ich auch direkt durch Nachrechnen prüfen, ob die Stelle eine Nullstelle ist. Dafür muss ich aber keine Extremstellen berechnen. 3. Die übrigen Nullstellen fehlen, denn was bringen mir die anderen Nullstellen der verschobenen Funktion?

Das Verfahren ergibt nicht viel Sinn.

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Gib dir keine Mühe. So oft, wie er den Unsinn schon wiederholt hat, wird er auch diesmal nicht einsehen, dass sein "Verfahren" sinnlos ist.

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Es sollte trotzdem nicht unwidersprochen so hier stehen bleiben.

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Entsprechende Kommentare und Meldungen werden ja ausgeblendet oder gelöscht.

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Warum mein Kommentar ausgeblendet wurde, weiß nur der Ausblendende. Warum meine sachliche Meldung gelöscht wurde, ist ebenso unklar. Also melde ich noch einmal.

"Der erschließt sich niemandem"

Das weiß ich. Ich wollte die Antwort nur nicht melden, ohne Moliets den Grund mitzuteilen.

Außerdem versuche ich, sachlich zu argumentieren, was ja nicht allen gelingt.

:-)

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Der Ausblender war ich. Ich sah in den zwei ausgeblendeten Kommentaren nur ein Bashing und weniger Information. Im ersten Beitrag von MontyPython hingegen wurde "nachgefragt" (wenn man so will), was dass den soll und Moliets eine Chance gegeben sich zu erklären.

Wegen einer Nachfrage oder Unverständnis von anderen Helfern direkt eine komplette Frage zu entfernen, ist nicht mein Stil.

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@Unknown

Danke für deine Erklärung. Allerdings hilft die Löschung von Meldungen und das Ausblenden kritischer Kommentare nicht, die Qualität er Antworten zu verbessern. Wie mein Kommentar als Bashing interpretiert werden kann, ist mir ein Rätsel, ich mich immer um einen sachlichen Ton bemühe.

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Ist man hier wirklich an einer guten Qualität der Antworten interessiert?

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Wie erwähnt sah ich in den beiden Folgebeiträgen kein Kommentar bzgl der Antwort, sondern nur ein Kommentar von Apfelmännchen auf den Deinen, auf den Du reagiert hattest. Die beiden Abschnitte hatte ich mir erlaubt zu entfernen.

Die Meldungen sind ja in erster Linie für die Moderation da. Die Kommentare für Moliets. Er hat also die Möglichkeit zu reagieren. Ich hatte die Möglichkeit drüber zu schauen. Nun ist Moliets wieder an der Reihe zu entscheiden, ob er die Kritikpunkte anerkennt und nachbessert, oder ob er weiterhin der Meinung ist, dass sein Beitrag hilfreich ist.

Dank der Kommentare sind ja auch mehrere andere Meinungen bekannt was den Mehrwert angeht und der Nachleser kann sich entscheiden, ob das ein gangbarer Weg ist oder nicht.

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In meinem letzten Kommentar habe ich doch erklärt, was für mich das Motiv zu der gegebenen Antwort gewesen ist.

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Dein letzter Kommentar war aber nicht das Schlusswort der Anmerkungen/Diskussion?

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Übersehe ich was? Ich sehe hier keine Erklärung von Moliets, sondern nur eine Kopie von Teilen seiner Antwort.

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Die Hauptsache steht in der von einigen kritisierten Antwort. Dabei wollte ich nur zeigen, dass bei der angefragten Funktion \(f(x)\) durch Ausklammern von \(x^2\) schnell die Nullstellen zu finden sind. Bei meiner geänderten Funktion \(p(x)\)  ist dieses Ausklammern nun nicht mehr möglich . Das führte mich dann zu dem Weg über die Ableitung von \(p(x)\) auch auf die Nullstellen zu kommen, was ich dann auch gezeigt habe. Mir ist schon klar, dass dieses Verfahren nicht bei jeder Funktion möglich ist. Darum halte ich auch an der gegebenen Antwort fest. Ich finde es immer gut, wenn FS mehrere Wege zur Lösung einer Aufgabe dargeboten bekommen.

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Es ist aber gar keine Lösung dieser Aufgabe.

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Nein, das sollte es aber auch nicht sein. Die ist schon von oswald gegeben worden

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Dann solltest Du das ganz klar sagen. Dass Du nun eine andere Aufgabe löst, mit einer Methode, die nur in Ausnahmefällen funktioniert. Nämlich wenn man die Nullstelle kennt, kann man sie mit einer anderen Methode nochmal berechnen. Für was auch immer das gut sein soll.

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Nein, das sollte es aber auch nicht sein. Die ist schon von oswald gegeben worden

Also gibt es keinen Bezug zur ursprünglichen Frage, was hier mehrfach kritisiert wurde. Von dem doch sehr seltsamen Verfahren mal abgesehen. Und wie man genau auf die Verschiebung kommt, wird auch nicht erläutert. Es funktioniert auch nur, wenn man tatsächlich eine doppelte Nullstelle hat, was dann doch eher selten. Sehe also keinen wirklich praktischen Nutzen, auch wenn ich verschiedene Rechenwege durchaus gutheiße, aber dann bitte nur, wenn sie auch wirklich einen sinnvollen Mehrwert bieten und keine umständlichen Umwege und nur in wenigen speziellen Fällen möglich sind.

Answer 3

Die erste Nullstelle wäre x=0 .

Da kannst du x^2 gleich ausklammern, da hättest du

8/3x-1 = 0

8/3x = 1

x=3/8 als zweite Nullstelle