Zeigen Sie, dass die Funktion f(x,y) in dem Punkt nicht stetig ist

Question

Hi,

bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion f: ℝ² → ℝ mit

 $$ f(x,y) = \frac { xy }{ x²\quad +\quad y² }  $$ mit (x,y) ≠ 0

und f(x,y) = 0 für (x,y) = 0

a) nicht stetig ist in (0,0)^T.

b) partielle Ableitungen in jedem Punkt von ℝ² besitzt, diese aber nicht beschränkt sind.

Bei der a) habe ich nicht wirklich einen Plan, bei der b) würde ich jeweils die partiellen Ableitungen bilden, aber wie zeige ich, dass diese nicht beschränkt ist?

Answer 1

Wir hatten das im Studium oft gemacht das wir substituiert haben

x = r·sin(a)

y = r·cos(a)

Dann kann man sich quasi von jedem Winkel dem Ursprung nähern

f(x, y) = x·y / (x^2 + y^2)

f(x, y) = r·sin(a)·r·cos(a) / ((r·sin(a))^2 + (r·cos(a))^2) = sin(a)·cos(a)

Der Funktionswert geht also nicht aus jeder Richtung gegen Null

Du könntest aber hier auch einfach sagen du untersuchst die Funktion für x = y

f(x, y) = x·y / (x^2 + y^2) mit y = x ergibt sich

f(x) = x·x / (x^2 + x^2) = x^2 / (2x^2) = 1/2

Auch hier sehen wir das es nicht gegen 0 geht.