Zeigen Sie für hinreichend große n hat f(z) keine Nullstellen in B_{r}(0) für r∈ℝ+.

Question

Sei n ∈ ℕ, z∈ℂ $$f(z):=\sum_{j=0}^n \frac{z^j}{j!}.$$

Zeigen Sie für hinreichend große n hat f(z) keine Nullstellen in B_r(0) für r∈ℝ⁺.

Mit B_{r}(0) ist die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius r gemeint.

Comments

Ich interpretiere es mal so:

Zu jedem r>0 gibt es ein n, so dass f(z) ≠ 0 für alle z aus B_r(0).

Hat wohl was mit der Nullstellenfreiheit der e-Fkt. zu tun ???

Answer 1

Wenn ihr die Definition der e.funktion im Komplexen schon hattet, dann ist die Frage relativ einfach. Schreib

$$e^z = e^{x+iy}$$ und benutz den Satz von Euler (auch Euler formel genannt), schreib das in Sinus und Cosinus um. Dann kriegst du einen Widerspruch.

Ohne e-funktion ist das ganze schon etwas schwieriger. Ich würde argumentieren wollen, dass das ganze eine positive monoton steigende Folge beschreibt. Da der erste Wert gerade gleich 1 ist, und die Werte von da nur größer werden, kann der Wert also insb. nicht 0 sein.