Anwendung des Mittelwertsatzes auf eine Gleichung m. Differentialquotient

Question

folgende Aufgabe:

Hier nun meine Lösung:

Ist das korrekt? Wie muss ich den schluss formulieren? danke für die Hilfe.

Answer 1

In deiner 1. Zeile sehe ich schon ein Problem.

So ein c kannst du wählen.

Aber die Existenz von x1 und x2 musst du begründen. Etwa so:

Dann gibt es laut Mittelw.satz

1.  ein x₁ ∈ ( a;c)  mit     ( f(a) - f(c) )  / ( a- c )  = f ' (x₁)    und

2.   ein x₂ ∈ ( c;b)  mit     ( f(c) - f(b) )  / ( c -b)  = f ' (x₂) 

und wegen x₁ ∈ ( a;c)  und  x₂ ∈ ( c;b)  und    a  < c  < b  gilt  a < x₁ <c < x₂  < b .

1. und 2. bedeuten auch

    f(a) - f(c)  = ( a- c ) * f ' (x₁)    und      f(c) - f(b)    =   ( c -b)  * f ' (x₁) 

Beide Gleichungen addiert ergibt

    f(a) - f(b)  = ( a- c ) * f ' (x₁)    +     ( c -b)  * f ' (x₁) 

und das durch (a-b) ergibt

  (  f(a) - f(b) )  /  ( a-b)     = ( a- c )/(a-b )   * f ' (x₁)    +     ( c -b)/ (a-b)    * f ' (x₁) 

und wegen     a  < c  < b  sind  1 =   ( a- c )/(a-b )  und  a2 =   ( c -b)/ (a-b)   aus ( 0 ; ∞ )

die gesuchten a1 und a2.und es ist auch
a1 + a2 =   ( a- c )/(a-b )  + ( c -b)/ (a-b)  =   ( a-b) / (a -b) = 1.    q.e.d.