Es gilt a=b wenn a^m =b^m und a^n = b^n mit ggt(m,n)=1

Question

Hi habe Probleme bei folgender Aufgabenstellung.

Es sei R ein Integritätsring, a, b ∈ R, und es gelte a^m = b^m und a^n = b^n für zwei positive ganze Zahlen m,n mit ggT(m, n) = 1.

Zeige, dass a = b.

Answer 1

Wenn a=0 dann aⁿ=0=bⁿ. Da R ein Integritätsring ist, folgt es dass b=0. Also a=0. 


Wenn a≠0 haben wir folgendes: Da ggT(m,n)=1 haben wir dass xm-yn=1, x,y∈ℤ. Wir haben folgendes: $$a^m=b^m\Rightarrow (a^m)^x=(b^m)^x \Rightarrow a^{xm}=b^{xm} \Rightarrow a^{1+yn}=b^{1+yn} \Rightarrow aa^{yn}=bb^{yn} \\ \Rightarrow aa^{yn}=b(b^n)^y \Rightarrow aa^{yn}=b(a^n)^y \Rightarrow aa^{yn}=ba^{yn} \Rightarrow a^{yn}(a-b)=0$$ Da a≠0 und R ein Integritätsring ist haben wir dass a^yn≠0. Von der Gleichung a^yn(a-b)=0 bekommen wir dass a-b=0, da R ein Integritätsring ist. Also a=b.