Basis einer Gleichung aus R^3 bestimmen und ich bekomme nur 2 Vektoren raus

Question

Ich habe die Aufgabe eine Basis für den Untervektorraum von R^3 V:x1-2x2+x3=0 zu bestimmen

ich habe die Gleichung dann einfach nach x3 umgestellt, so dass

x3=-x1+2x2 ist, ich also (x1, x2, -x1+2x2) erhalte und das dann umstelle nach (x1,0,-x1)+(0,x2,2x2) und das dann ausklammere x1(1,0,-1) + x2(0,1,2)

Damit hätte ich raus dass die Basis von V (1,0,-1), (0,1,2) ist.

Aber da ich mich ja in R^3 bewege muss ich doch drei Basisvektoren erhalten, oder?

Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!!

Answer 1

bei Gleichung handelt es sich um eine Ebenengleichung.

Eine Ebene wird von zwei Vektoren aufgespannt.

Von daher ist es schon richtig, dass du nur 2 Vektoren erhältst.

Zur Überprüfung: Normalenvektor ist (1,-2,1)

Das Kreuzprodukt deiner beiden Vektoren ergibt (1,-2,1)

---> dein Ergebnis stimmt

Answer 2

> Aber da ich mich ja in R³ bewege ...

Das tust du zwar. Aber du bist in deiner Bewegungsfreiheit eingeschränkt. Und zwar auf die (zweidimensionale) Ebene mit der Ebenengleichung x₁-2x₂+x₃=0.

Deine Basis ist richtig.