Bestimmen Sie alle λ ∈ R, für die die folgende Liste eine Basis von V ist:

Question

(a) Gegeben seien der R-Vektorraum V = R^3 und λ ∈ R. Bestimmen Sie alle λ ∈ R, für die die folgende Liste eine Basis von V ist:

v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, λ), v3 = (λ, 2, −1)

(b) Seien U und W jeweils vierdimensionale Untervektorräume des C-Vektorraums C^6. Zeigen Sie, dass es in U ∩ W zwei Vektoren gibt, die keine skalaren Vielfachen voneinander sind.

(c) Es gilt:
dim(U1 + U2 + U3) = dim U1 + dim U2 + dim U3
                             − dim(U1 ∩ U2) − dim(U1 ∩ U3) − dim(U2 ∩ U3)
                             + dim(U1 ∩ U2 ∩ U3)
Begründen Sie diese Gleichheit oder widerlegen Sie sie.

Answer 1

a)  Die bilden eine Basis, wenn sie lin. unabhängig sind;

denn 3 Stück sind es ja.

Wenn du sie als Spalten einer Matrix schreibst ist die Determinante

D = λ^2 - 2λ + 1 = (λ-1)^2

Ist also nur 0 für λ=1. Also bilden sie für alle λ≠1 eine Basis.