Vektor: dim und Basis für V bestimmen

Question

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Aufgabe 31
\( \operatorname{Im} \mathbb{R}^{4} \) seien die folgenden Vektoren gegeben:
\( v_{1}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -4 \\ 6 \end{array}\right) \)
Wir betrachten \( V=\operatorname{Span}_{\mathbb{R}}\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\} \subseteq \mathbb{R}^{4} \).
(i) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(V) \).
(ii) Bestimmen Sie sämtliche Möglichkeiten, aus \( v_{1}, \ldots, v_{4} \) eine Basis für \( V \) auszuwählen.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hey kann mir wer helfen wie ich den dim bestimme? bzw wie ich eine Basis auswähle?

Comments

Ich sehe leider deinen Vorlesungshefter nicht. Sonst könnte ich dir beim Blättern zu der Seite helfen, wo das steht.

Oder findest du es selbst?

Answer 1

wie ich den dim bestimme

Bilde die Matrix \(M\) , die die Vektoren \(v_{1}, \ldots, v_{4}\) als Spalten hat.

Bestimme den Rang \(n\) von \(M\).

wie ich eine Basis auswähle

Basen von \(V\) sind die linear unabhängigen \(n\)-elementigen Teilmengen von \(\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\}\). Prüfe also jede \(n\)-elementige Teilmenge von \(\left\{v_{1}, \ldots, v_{4}\right\}\) auf lineare Unabhängigkeit.

Comments

also das mit der Basis verstehe ich leider immer noch nicht... wie was genau prüf ich da?

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Angenommen du hast festgestellt, dass \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(V) =2\) ist.

Dann prüfst du jede 2-elementige Teilmenge von

        \( \left\{\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}\right\} \)

auf lineare Unabhängigkeit. Wie du eine Menge auf lineare Unabhängigkeit prüfst, steht in deinen Unterlagen in der Definition von lineare Unabhängigkeit.