Anfangswertproblem lösen DGL erste ordnung

Question

2y'-3*y/x=0,           y(4)=4

Lösen sie die lösung y(x) für das Anfangswertproblem

Answer 1

Lösung mit Trennung der Variablen:

2y'=3y/x

2y'*x=3y

2x=3y/y'

1/(2x)=y'/(3y)

1/(2x)=dy/dx*1/(3y)

dx/(2x)=dy/(3y) beide Seiten Integrieren 

1/2*ln(x)+C=1/3*ln(y)          e^{...}

c*x^{1/2}=y^{1/3}         (...)^3

c₁*x^{3/2}=y, c₁∈ℝ

Anfangsbedingung:

y(4)=c₁*4^{3/2}=c₁*8=4 --> c₁=1/2

y(x)=1/2*x^{3/2}

Comments

Ich denke, du hast den Definitionsbereich der allgemeinen Lösung mit y = c * x^3/2 unnötigerweise auf ℝ⁺eingeschränkt.   (vgl.meine Antwort)

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Ja das stimmt, man muss eigentlich nach der Integration im ln() ja den Betrag nehmen, dann sind auch negative x kein Problem

Answer 2

2y'-3*y/x=0,           y(4)=4

Comments

Ich denke, du hast den Definitionsbereich der allgemeinen Lösung mit y = c * x^3/2 unnötigerweise auf ℝ⁺eingeschränkt.   (vgl.meine Antwort)

Answer 3

Trennung der Variablen:

2y ' - 3*y/x = 0     [ x≠0 ]

2y ' = 3*y/x 

y' = 3/2 * y/x

dy/dx = 3/2 * y/x  | : y | * dx     [ y≠0, y =0 vgl. unten # ]

1/y  dy = 3/2 * 1/x  dx

∫ 1/y  dy = 3/2 * ∫ 1/x  dx

ln(|y| =3/2 * ( ln(|x|)) + c₁         [ c₁ ∈ ℝ ]

Beide Seiten  e^... 

|y| = e^{3/2·(ln(|x|) + c1)} = e^·3/2·c1 * e^3/2·ln(|x| 

y = ± e^3/2·c1 * (e^ln(|x|))^3/2

y = c * |x|^3/2     [ c ∈ ℝ ]  mit  D_c = ℝ\{0} 

# weil die konstante Funktion y=0 mit D₀ = ℝ\{0} ebenfalls Lösung der DGL ist

y(4) = 8c = 4 → c = 1/2 → y = 1/2 * |x|^3/2 für das Anfangswertproblem

Gruß Wolfgang