Definition von 2 Folgen an:= √(n+1000) - √n , bn:= √(n+n/1000) - √n

Question

Für n ∈ ℕ definieren wir die Folgen:

a_n = √(n+1000) - √n

b_n = √(n+n/1000) - √n

Zeigen Sie: Für 1≤ n < 1000000 gilt  a_n > b_n, jedoch

lim_n↦∞ a_n = 0     lim_n↦∞ b_n = ∞

Also die Hinweis die ich habe ist dass x-y = (x²-y²) / (x+y)

Comments

EDIT: Fehlende Klammern um die Terme, die vermutlich unter der Wurzel stehen ergänzt. Überlege das nächste Mal bitte selbst, ob du genügend geklammert hast, damit alles eindeutig lesbar ist.

Answer 1

a_n > b_n  ⇔    √(n+1000) - √n >  √(n+n/1000) - √n              

⇔   √(n+1000) > √(n+n/1000)  

⇔  n+1000 > n+n/1000  

⇔ 1000 >n/1000  

⇔ 1000000 > n

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lim  (√(n+1000) - √n) = lim ( √(n+1000) ² - √n ²) / (√(n+1000) + √n )

= lim [ (n+1000 - n) / ( √(n+1000) + √n) ] 

= lim [ 1000 / ( √(n+1000) + √n )  = 0

------------

lim [√(n+n/1000) - √n] = lim [√( 1001/1000 • n) -√n] = lim [√(1001/1000) • √n - √n] 

= lim [ 1/1000 • √n]  = ∞

Gruß Wolfgang

Comments

Hey, könnte mir vielleicht jemand den letzten Schritt deiner Umformung erklären, also

lim [√(1001/1000) • √n - √n]  =  lim [ 1/1000 • √n]  ?

Da wird wohl √n ausgeklammert, aber wie kommt man vorne auf die 1/1000?

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Man kann √n ausklammern und erhält dann

... =

lim [ √(1001/1000) • √n - √n ] =

lim [ (√(1001/1000) - 1) • √n ] = ...

Der Schritt, der dann in der ursprünglichen Rechnung folgt, ist falsch. Für die Aussage zur bestimmten Divergenz wird er aber auch nicht benötigt.

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Ok, danke. Dachte mir schon, dass da was nicht stimmen kann. :D

Answer 2

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: Für 1 ≤ n bn, jedoch

Stichworte: konvergenz

Aufgabe:

Für n ∈ N definieren wir die Folgen
an =√n + 1000 −√n     bn =√n +n/1000 −√n
(a) Zeigen Sie: Für 1 ≤ n < 1 000 000 gilt an > bn, jedoch
limn→∞ an = 0 limn→∞ bn = ∞
Hinweis:

x − y =x^2−y^2/x+y
.

Comments

Folgendermassen würde deine Frage aussehen, wenn du die nötigen Klammern gesetzt hättest. https://www.mathelounge.de/361857/definition-von-2-folgen-an-n-1000-n-bn-n-n-1000-n

Vielleicht? Richtig?