Bernoullische Diffentialgleichung y' = 8xy - xy^{3/4}

Question

Hallo ,

Wie gehe ich hier vor ?

Answer 1

Bernoullischen Diffentialgleichung

Answer 2

y'=8xy-xy^{3/4}

y'=x*(8y-y^{3/4})

substituiere z=y^{1/4}, y=z^4

--> z'=1/4*y^{-3/4}*y'=1/4*z^{-3}*y' --> y'=4*z'*z^3

DGL:

4*z'*z^3=x*(8*z^4-z^3)

4*z'*z^3/(8*z^4-z^3)=x

4*z^3/(8*z^4-z^3) dz =xdx

1/2*8/(8z-1)dz=xdx integrieren

1/2*ln(8z-1))=1/2*x^2+C

ln(8z-1)=x^2+C

8z-1=c*e^{x^2}

8z=c*e^{x^2}+1

z=c₁*e^{x^2}+1/8 ,c₁∈ℝ

--> y=[c₁*e^{x^2}+1/8]^4

Comments

und was ist mit dem Definitionsbereich?

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[c₁*e^{x^2}+1/8]⁴>=0 für alle x∈ℝ

y=0 soll aber nicht Teil der Lösung sein ( ich hab auch manchmal durch y geteilt) -->

c₁*e^{x^2}+1/8=0 

c₁*e^{x^2}=-1/8  für c₁>=0 hat diese Gleichung keine Lösung, also bleibt D=ℝ

für c₁<0: 

e^{x^2}=-1/(8*c₁)

x=±ln(-1/(8*c₁)) 

-->D=ℝ/{ln(-1/(8*c₁)),-ln(-1/(8*c₁))}

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danke schön für die antwort :)

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Also warum ist da z=c₁*e^{x^2}+1/8 ,c₁∈ℝ
c₁*e^{x^2 auch nicht durch 8 geteilt ?}

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weil c/8=c₁, um Schreibarbeit zu sparen