Hat die folgende Permutation das Signum -1?

Question

Aufgabe:

Hat die Permutation \( \sigma=\left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 3 & 2\end{array}\right) \) Signum \( -1 \) ?

Ansatz:

Verstehen aber nicht, wie wir jetzt auf das Signum kommen.

Answer 1

in einer Permutation  π ∈ S_n  bezeichnet man ein Paar  (i,j) ∈ {1,...,n}×{1,...,n}  als Fehlstand, wenn  i < j  und  π(i) > π(j)  gilt. Das Signum von  π  ist gleich  +1, wenn die Anzahl der Fehlstände von  π  gerade ist, sonst ist es gleich  -1. Hier habe ich  7  Fehlstände gezählt. Sollte ich mich nicht verzählt haben, ist das Signum hier demnach gleich  -1.

Comments

was genau meinst du mit Fehlständen? Also Permutationen brauchten wir ja 3, wie hängen die Fehlstände damit zusammen?

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Ein Fehlstand hier ist z.B. das Paar (1,5), denn  1 < 5  aber  4 = π(1) > π(5) = 2.
Es gibt jedoch eine weitere Methode, das Signum zu berechnen:
sgn(π) = Π_1≤i<j≤n (π(j) - π(i))/(j - i).