Signal in Exponentialform bringen:

Question

Ich habe folgendes Signal das ich in Exponentialform bringen soll: $$ 4cos(33\pi +\frac { \pi  }{ 4 } )+2sin(44\pi t) $$
Dazu habe ich eine Lösung bei der ich einige Schritte nicht ganz verstehe:
Zuerst formen wir den cos und sin Teil um:
$$ 4\cdot (\frac { { e }^{ j(33\pi t-\frac { \pi  }{ 4 } ) }+{ e }^{ -j33\pi t-\frac { \pi  }{ 4 }  } }{ 2 } )+2\cdot (\frac { { e }^{ j44\pi t }-{ e }^{ -j44\pi t } }{ 2j } )\quad  $$
Das ist ja noch ganz einfach, aber ab hier habe ich einen Blick in folgende Musterlösung geworfen:
$$ 4\cdot (\frac { { e }^{ j(33\pi t-\frac { \pi  }{ 4 } ) }+{ e }^{ -j33\pi t-\frac { \pi  }{ 4 }  } }{ 2 } )+2\cdot (\frac { { e }^{ j44\pi t }-{ e }^{ -j44\pi t } }{ 2j } )\quad \\ =\quad \quad 2{ e }^{ j(33\pi t-\frac { \pi  }{ 4 } ) }+\quad { e }^{ -j(33\pi t-\frac { \pi  }{ 4 } ) }-\bigstar \quad j{ e }^{ j44\pi t }\quad +\quad j{ e }^{ -j44\pi t }\\ =\quad \quad 2{ e }^{ -j\frac { \pi  }{ 2 }  }{ e }^{ -j(16,5)2\pi t }+2{ e }^{ -j\frac { \pi  }{ 4 }  }{ e }^{ -j(16,5)2\pi t }+{ e }^{ -j\frac { \pi  }{ 2 }  }{ e }^{ \pi (22)2\pi t }+{ e }^{ -j\frac { \pi  }{ 2 }  }{ e }^{ -j(22)2\pi t } $$
Hier habe ich etwas Probleme mit der Umformung. In der zweiten Zeile verstehe die Umformung ab dem $$\bigstar $$ nicht. Müsste da nicht e-Term durch "j" rauskommen anstatt e-Term mal "j"? Da doch die 2 mit der multipliziert werden soll, sich mit der 2 im Nenner kürzt und so im Nenner "j" stehen bleibt?
Die Aufspaltungen in der 3. Zeile verstehe ich auch nicht ganz, wäre nett wenn mir kurz jemand zeigen könnte was genau da gemacht wurde.

Answer 1

 Müsste da nicht e-Term durch "j" rauskommen anstatt e-Term mal "j"? 

Du hast ja eine Zeile darüber ein j unter dem Bruchstrich. Das darf sich nicht ist Nirwana verabschieden. Benutzt wird, dass

1/j = -j, was zu einem Faktor -j vor dem e^.... führt und gleichzeitig erklärt, warum die Vorzeichen im Vergleich mit der Zeile vorher ändern.

Danach muss man noch wissen, dass

j = e^{jπ/2} 

-j = e^{-jπ/2}

d.h. vor dem letzten Summanden in der letzten Zeile gibt es noch einen Vorzeichenfehler (im Exponenten oder vor dem e) 

Weiter wird benutzt, dass e^{a+b} = e^{a} * e^{b} 

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Vielen Dank Lu! Jetzt ist es klar.