Euler-Formel zeigen ohne Potenzreihen

Question

Hallo liebe Mathefreunde!

Wie wiederholen gerade in einer kleinen Lerngruppe den Stoff des letzten Semesters, weil bald die Klausur ansteht.

Wir haben in der Vorlesung die Euler-Formel "e^(ix)=cox(x)+i*sin(x)" mit Hilfe der Potenzreihen für Sinus- und Cosinus hergeleitet. Eine solche Herleitung habe ich auch hier in der Mathelounge und immer wieder auch im Internet gefunden.

In einer alten Klausuraufgabe ist nun gefordert, die Gültigkeit der Euler-Formel zu zeigen. Geht das nur mit Potenzreihen oder gibt es da irgendeinen "Trick"?

Danke euch im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Wir definieren folgende Funktion:$$f(x)\coloneqq \underbrace{e^{-ix}}_{=u}\cdot\underbrace{(\cos x+i\sin x)}_{=v}$$Sie ist für alle \(x\in\mathbb R\) differenzierbar und es gilt:$$f'(x)=\underbrace{-ie^{-ix}}_{=u'}\cdot\underbrace{(\cos x+i\sin x)}_{=v}+\underbrace{e^{-ix}}_{=u}\cdot\underbrace{(-\sin x+i\cos x)}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}={\color{blue}-ie^{-ix}\cos x}\pink{-i^2e^{-x}\sin x-e^{-ix}\sin x}\,{\color{blue}+\,ie^{-ix}\cos x}=0$$Daher ist die Funktion \(f(x)\) konstant:$$e^{-ix}\cdot(\cos x+i\sin x)=f(x)=\text{const}=f(0)=1$$Multiplikation beider Seiten mit \(e^{ix}\) ergibt:$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

Comments

Da verwendest du immerhin die Eigenschaft, dass die Produktregel für Ableitungen nicht nur im Reellen, sondern auch im Komplexen gilt. Ich denke, dass man einen Beweis dafür vorgängig gemacht haben sollte.

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Wenn man die Euler-Formel mit mit Potenzreihen beweist, setzt man in die Reihen für Cosinus und SInus auch komplexe Zahlen ein, ohne zu beweisen, dass das "erlaubt" ist. Irgendwo muss man ja mal anfangen. Da es sich hier um eine Klausurvorbereitung handelt, kann man die Gültigkeit der Produktregel im Komplexen, denke ich, voraussetzen.