Geometrische Problemaufgabe im KS. Für welche Werte von a wird f(a) maximal bzw. minimal?

Question

Gegeben ist im KS der Punkt P(2/3). Für jeden Punkt A(a/0) mit a >2 erhält man dann in Abhängigkeit von a einen reellen Wert b, so dass die Punkte B(0/b), P, A auf EINER Geraden g(A) liegen.

Es entsteht jeweils ein Dreieck ABO (mit 0 als Koordinatenursprung 0 (0/0) ).

Mit f(a) sei der Flächeninhalt dieses Dreiecks ABO bezeichnet.

Bestimmen Sie einen algebraischen Term für f(a) in Abhängigkeit von a.

Für welche Werte von a wird f(a) maximal bzw. minimal?

Answer 1

Die Gerade hat die Steigung  -3 / ( a-2) und damit die

Gleichung   y = -3 / (a-2 ) * x   + 3+  6 / ( a-2)

also ist die Fläche f(a) = a* ( 3 +    6 / ( a-2) )   = 3a^2 / ( a-2)

und f ' (a) = (  3a*(a-4)) / ( a-2)^2 

also wegen a>0 nur ein Kandidat für lok. Extrema   a=4

und wegen Vorzeichenwechsel von f ' bei a= 4

von  - nach + ist das ein Minimum.

Comments

Woher weißt du gleich am Anfang welche Steigung die gerade hat?

Und welche Formeln nutzt du für die Rechnung?

---

Steigung = Höhenunterschied / Horizontalunterschied

Vom Punkt  P zu A ist der Höhenunterschied -3

und der horrizontale ( waagerechter) Unterschied a-2

weil a >2 ist und von 2 bis a ist es dann   a-2.

Und dann Geradengleichung   y = mx+n

 m=  -3 / ( a-2)  und die Koordinaten von P einsetzen

und n ausrechnen.

---

y=mx+n

3=-3/(a-2)*2 +n      *(a-2)

3a-6= -3*2+n

n= 3a

Was mache ich falsch?

woher kommt die +3+6/(a-2) bei deinem ersten Beitrag?

---

y=mx+n

3=-3/(a-2)*2 +n      *(a-2)

3a-6= -3*2+n*(a-2)

3a = n*(a-2)

n = 3a / (a-2)

---

ich hab auch noch eine Frage dazu.

In deinem ersten Kommentar setzt zu bei y=mx+n die bestimmte Steigung m ein und für n=(3a/a-2). Aber woher kommt die 6 bei: 3+6/(a-2)?

---

y=mx+n    m eingesetzt und P(2/3) gibt  

3=-3/(a-2)*2 +n     ausrechnen gibt
3=-6/(a-2) +n     | + 6/(a-2)
3+6/(a-2) = n
oder wenn man weiter rechnet
(3a-6 + 6)/ (a-2) = n
3a / (a-2) = n

---

Achso, danke dir. okay, dumm von mir...

Ich habe noch eine Frage zum Flächeninhalt von f(a). Es sollt doch der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet werden. Wieso wird dann bei der Fläche f(a)= a*n gerechnet?

---

Das ist ja das rechtwinklige Dreieck, das als Katheten die beiden Achsenabschnitte hat.

Der eine ist a und der andere das n aus der Geradengleichung.

Oh hoppla, da fehlt dann wohl der Faktor 0,5 davor.

Das wirkt sich aber auf das Minimum nicht aus.

---

Tausend Dank. Dann hab ichs jetzt auch:)

---

Ich noch nicht ganz.

Kannst du die Ableitung noch einmal erklären? Weiss nicht wie man einen Bruch ableitet.

---

Ableitung vom Bruch:

Nenner mal Abl. vom Zähler - Zähler mal Abl. vom Nenner

durch Nenner hoch 2

---

f´(x)= ( 0*(a-2) ) - (1*(-3)) - 3* (a-2)- (1*3a))  / (a-2)²

f´(x)= 3-(3a-6-3a) / (a-2)

f´(x)= 9/((a-2)²)

Was mach ich falsch?

---

Es ist f(a) = 3a^2 / (a-2)    bzw. nach der Korrektur

 f(a) = 1,5a^2 / (a-2)  

also

f ' (a) =  ((a-2) * 3a  -   1,5a^2 * 1   )       /    (a-2)^2

         =  ( 3a^2 - 6a - 1,5a^2 )     /    (a-2)^2

        =  ( 1,5a^2 - 6a )     /    (a-2)^2

        =  ( 1,5a ( a  - 4 )    )     /    (a-2)^2