Lagrangemultiplikatoren mit 2 Nebenbedingungen

Question

ich habe ein Problem bei einer Extremwertaufgabe mit Lagrange-Multiplikatoren .

also mein Hilfsfunktion lautet ja :$${ L }_{ (x,y,z,\lambda ,\mu ) }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+\lambda ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1)+\mu (x+y+z-1)$$

wenn ich jetzt partiell ableite, nach den einzelnen Komponeten bekomme ich :$${ L }_{ x }=2x+2x\lambda +\mu =\quad 0\\ { L }_{ y }=2y+2y\lambda +\mu =\quad 0\\ { L }_{ z }=2z+\mu =\quad 0\\ { L }_{ \lambda  }={ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }-1=\quad 0\\ { L }_{ \mu  }=x+y+z-1=\quad 0$$

Nur ich schaffe es ums verrecken nicht dass GLS zu lösen , bei mir kommt nur Müll raus :(

Kann mir dabei whl jemand helfen ? Oder vielleicht habe ich auch vorher schon einen Fehler gemacht ...

Answer 1

Die 3. Gleichung gibt my = -2z in die ersten beiden eingesetzt

gibt   2x(1+lambda) = 2z  und  2y ( 1+lambda) = 2z

also      2x(1+lambda)   =    2y ( 1+lambda)   und für lambda ≠ -1 schon mal  x=y

mit der 4. also

2x^2 - 1 = 0 

2x^2 = 1

    x = ±√(1/2)     und  y auch .

und die 5. sagt dann

2* ±√(1/2)   + z = 1

z =  1 ±2√(1/2).

Comments

Oh, da bin ich nicht drauf gekommen ( peinlich ) , aber aller aller besten dank :)