Untersuchen von gebrochen rationalen Funktionen. f(x) = (x^2 - 6x + 9)/(x-2) und 527d)

Question

Bitte um hilfe bei den im Bild genannten aufgaben (525b und 527d)

Comments

Du meinst mit 525b)

  f(x) = (x^2 - 6x + 9)/(x-2)  ?   | 2. Binom

= (x-3)^2/(x-2)

==> vertikale Asymptote ist x = 2.

Die schräge Asymptote bekommst du z.Bn über eine Polynomdivision.

Answer 1

Zu 525 b) Der Definitionsbereich ist ganz R außer den Stellen, an denen der Nenner Null ist.     D = R\{2}

Nullstellen sind Nullstellen des Zählers im Definitionsbereich: x²-6x+9 = (x-3)² = 0, also x_N = 3

Asypmptoten nähert sich der Graph für x gegen Unendlich. Polynomdivision: (x²-6x+9):(x-2)=x-4+1/(x-2). Der Bruch geht für x gegen Unendlich gegen Null und der ganzrationale Term x-4 ist Funktionsterm der Asymptote.

Answer 2

Funktion & Ableitungen

f(x) = (x^2 - 6·x + 9)/(x - 2) = x - 4 + 1/(x - 2)

f'(x) = (x^2 - 4·x + 3)/(x - 2)^2

f''(x) = 2/(x - 2)^3

Definitionsmenge

D = R \ {2}

Symmetrie

Keine untersuchte Symmetrie

Polstelle

x = 2

Verhalten im Unendlichen

Schiefe Asymptote: y = x - 4

Verhalten an der Polstelle

lim (x --> 2-) f(x) = - ∞

lim (x --> 2+) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = - 4.5

Nullstellen f(x) = 0

(x^2 - 6·x + 9)/(x - 2) = 0

x = 3 (d.N.)

Extrempunkte f'(x) = 0

(x^2 - 4·x + 3)/(x - 2)^2 = 0

x = 1 ∨ x = 3

f(1) = - 4 ; f''(1) = - 2 --> Hochpunkt (1 | - 4)

f(3) = 0 ; f''(1) = 2 --> Tiefpunkt (3 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0

2/(x - 2)^3 = 0 --> Keine Wendepunkte