Wahrscheinlichkeitsrechnung (sehr kompliziert?!): Stifte ziehen

Question

ich quäle mich gerade an einer schwierigen Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung herum. Sie ist viel zu lange um sie hier aufzuschreiben, aber ich erfinde mal eine ähnliche Aufgabe, nur damit in etwa das Problem klar wird ;-):

Auf dem Tisch liegen 12 Stifte in verschiedenen Farben (gelb, orange, rot, rosa, violett, schwarz, braun, blau, grün, grau).

Jemand greift blind nach einem Stift und malt damit. Danach legt er den Stift wieder zurück und greift nach einem neuen (es kann auch wieder der gleiche sein).

Anschließend tätigt jemand folgende Aussagen:

1) Beim ersten Malvorgang wurde keine Grün genommen (Wahrscheinlichkeit = 91,67%).

2) Beim zweiten Malvorgang wurde eine Schwarz oder Gelb genommen (Wahrscheinlichkeit = 16,67%).

3) Beim dritten Malvorgang wurde Orange genommen (Wahrscheinlichkeit = 8,33 %).

Nun kenne ich zwar die Einzelwahrscheinlichkeiten, aber ich würde gerne wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass IRGENDEINE der drei Aussagen zutrifft. Und dann auch, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei bzw. alle drei Aussagen zutreffen. Habe leider keine Ahnung, wie man so etwas ausrechnen kann. Durch Addieren oder Multiplizieren der Einzelwahrscheinlichkeiten komme ich nicht weiter.

Wäre schön, wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte.

Danke und viele Grüße

Steffi

Answer 1

Wenn es stochastisch unabhängig ist gilt

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Comments

Danke für Deine Antwort. Was bedeutet das denn für meine Aufgabe, bei der es nicht nur A und B, sondern noch C gibt?

Wenn ich wissen will, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Aussage 1 oder Aussage 2 oder Aussage 3 zutrifft, muss ich dann so rechnen:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B ∩ C) ?

Und wenn ich wissen will, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass 2 von 3 Aussagen zutreffen, geht das dann so:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) 

P(A ∩ C) = P(A) * P(C) 

P(B ∩ C) = P(B) * P(C) 

Und anschließend den Durchschnitt aus diesen drei Wahrscheinlichkeiten berechnen?

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Es gilt die Siebformel:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

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OK, ich glaube, ich habe jetzt kapiert, wie man die Wahrscheinlichkeit, dass EINE der drei Aussagen bzw. ALLE drei Aussagen zutreffen, ausrechnet. :-) Aber wie sieht es mit der Wahrscheinlichkeit für zwei Aussagen aus?

(Sorry, falls Du das schon geschrieben hast und ich es nicht herausgelesen habe.)

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Für zwei aussagen gelten doch die genannten regeln:

Wenn es stochastisch unabhängig ist gilt

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Wenn du willst kann ich das auch an deiner aufgabe vorrechnen. leider habe ich die nicht vorliegen.

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Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Leider verstehe ich es immer noch nicht.

Könntest Du bitte die jeweilige Formel noch einmal unter die folgenden Überschriften schreiben, damit ich genau weiß, was wozu gehört?

Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

Irgendeine der drei Möglichkeiten trifft zu:

Das ist dann doch: P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C), oder?

Irgendwelche zwei der drei Möglichkeiten treffen zu (also A und B oder A und C oder B und C):

???

Alle drei Möglichkeiten treffen zu:

P(A ∩ B ∩  C) = P(A) * P(B) * P(C), stimmt's?

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Das erste und letzte ist richtig und das andere hattest du doch auch schon.

Wenn genau 2 der drei Möglichkeiten zutreffen.

P(A ∩ B ∩ ¬C) + P(A ∩ ¬B ∩ C) + P(¬A ∩ B ∩ C)

Wenn was mit Und verknüpft ist, dann ist das immer nur Multiplikation.

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Ich habe jetzt mal Deine Formel angewendet, aber irgendwas stimmt nicht. Ich glaube, ich habe irgendeinen Fehler beim Ausrechnen von "Nicht-A" (bzw. "Nicht-B" und "Nicht-C") gemacht.

P(A) = 0,9167
P(B) = 0,1667
P(C) = 0,011

P(¬A) = 0,0833
P(¬B) = 0,8333
P(¬C) = 0,9167

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P(¬A) = 1 - 0.9157

P(¬C) sieht falsch aus

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Ok, danke nochmals :-).

Eine letzte Frage habe ich noch. Wie muss ich diese Formel (P(A ∩ B ∩ ¬C) + P(A ∩ ¬B ∩ C) + P(¬A ∩ B ∩ C)) umschreiben, wenn ich die Buchstaben A bis G habe und ich wissen möchte, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass 3 von 7 Aussagen richtig sind?

Stimmt das dann so:

P(A ∩ B ∩ C ∩ ¬D ∩ ¬E ∩ ¬F ∩ ¬G) +

P(A ∩ B ∩ ¬C ∩ D ∩ ¬E ∩ ¬F ∩ ¬G) +

P(A ∩ B ∩ ¬C ∩ ¬D ∩ E ∩ ¬F ∩ ¬G) + ...

usw.?

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Ja genau. Wobei das genau 3 von 7 Aussagen sind.

Oft beinhaltet das 3 richtig sind auch das 4 richtig sind etc.

Im Zweifel ist dann nachzufragen wie es ganz genau gemeint ist.