Matrix und dazugehörende Eigenwerte und Eigenvektoren

Question

Lösung:

Bin leider ziemlich aufgeschmissen, verstehe sowohl bei der Aufgabe als auch der Erklärung nur Bahnhof :(. Grundsätzlich verstehe ich, was es mit einem Eigenvektor und Eigenwerten zu tun hat, aber in solch einer abstrakten Form blick ich leider nicht durch. Kann mir da jemand helfen?

Liebe Grüße

Answer 1

λ ist ein Eigenwert von A, wenn gilt Ax=λx

Jetzt möchte man eine Aussage zu Eigenwerten zu A^3

Also wendet man die Matrix A^3 auf einen Vektor x an:

A^3 x

Das kann man auch ausschreiben als 3 maliges hintereinander multiplizieren von A :

A^3x=A*A*A*x=A(A(Ax))

jetzt die Eigenwertbedingung nutzen:

A(A(Ax))=A(A(λx)) das λ kann als konstanter Faktor vor die Matrizen geschrieben werden:

A(A(λx))=λA(Ax)=λA(λx) das selbe nochmal

λA(λx)=λ*λ*λ*x=λ^3 x

-->A^3 x=λ^3 x --> λ^3 ist ein Eigenwert von A

Answer 2

Sei x ein Eigenvektor mit dem Eigenwert k der quadratischen Matrix M

Dann gilt bekanntlich:

M * x = k * x

Was ist nun mit M^3

Da

M^3 * x =  M * M * M * x = M * M * k * x = k * M * M * x = k * M * k * x = k^2 * M * x = k^2 * k * x = k^3 * x

Daher ist x ein Eigenvektor mit dem Eigenwert k^3 von M^3