Finden Sie den Zeitpunkt der maximalen Konzentration

Question

Die Konzentration eines Arzneimittels im Blut (gemessen in Milligramm pro Liter) ist t Stunden

nach Injektion gegeben durch die Formel

c(t)=  t/(t^2+4)       ; t≥0

Answer 1

c(t) = t/(t^2 + 4)

c'(t) = (4 - t^2)/(t^2 + 4)^2 = 0 --> t = 2 Stunden

Skizze:

~plot~ x/(x^2 + 4);[[0|24|0|0.3]] ~plot~

Answer 2

c(t)=  t/(t²+4)       ; t≥0 (in Stunden)

mit der Quotientenregel  [ u/v ]' = [ u * v + u * v' ] / v²   erhältst du 

c'(t) = [1 * (t²+4) - t * 2t ] / (t²+4)² 

nach Zusammenfassen im Zähler  c'(t) = (4 - t²) / (t²+4)² 

Für eine Maximalstelle von c(t) muss gelten:

c'(t) = 0 mit Vorzeichenwechsel von c'(t) von + → - an der betreffenden Stelle

→  t = 2

Der Maximalwert der Konzentration wird also nach 2 Stunden erreicht.

Wegen c(2) = 1/4 beträgt er 0,25 mg pro Liter

Gruß Wolfgang