Potenzfunktion anhand von Punkten im Koordinatensystem bestimmen

Question

Hallo

Ich komme bei diesen 2 Funktionen nicht weiter

Die eine Potenzfunktion hat ihren Scheitel bei P(0/4) und ich lese noch 2 weitere Punkte ab falls man den Scheitel bei der Ermittlung nicht verwenden darf. Q(2/2) und S(2.5/1). Die Lösung dieser Funktion ist  -0.5x^2+4

Mir ist klar dass es sich bei diesem Beispiel um eine Parabel handelt und daher n gleich 2 ist aber angenommen man erkennt dies nicht direkt am graphen wie setze ich diese punkte ein um das ergebnis zu erhalten?

Dasselbe problem habe ich bei folgender Aufgabe:Ich lese wieder die punkte ab. P(0/-1),Q(1/-2) und S(-2/6). Der Punkt S ist leider etwas ungenau. Die Potenzfunktion verläuft von link oben nach rechts unten und die Lösung ist f(X)=-x^3-1. ich habe die Werte mehrmals eingesetzt und komme nicht auf n=3 und a=-1.Wäre auch hier wirklich dankbar wenn jemand durch Einsetzen der Punkte zeigen könnte wie das funktioniert.

Danke schonmal für alle hilfreichen Antworten.

Answer 1

Es handelt sich hier nicht um Potenfunktionen sondern um Polynomfunktionen. Aber egal.

Zum ersten Beispiel. Selbstverständlich darf man den Scheitelpunkt verwenden. Dann muss man allerdings die Scheitelform y = a(x-b)²+c mit dem Scheitel (b/c) kennen. Wenn man hier den Scheitelpunkt einsetzt, erhält man y=ax²+4.  Wenn man darin den Punkt (2/2) einsetzt, erhält man nach etwas Rechnung a = - 0,5.

Zum 2.Beipiel: Wenn f(x)=x³-1 die Lösung ist, gibt es z.B. die Punkte (0/-1), (1/0) (-2/-9) oder (2/7). Vermutlich ist die Lösung gesucht und nicht bekannt. Dann muss man in den Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d vier Punkte einsetzen. So erhält man vier Gleichungen mit den 4 Unbekannten a, b, c, und d. Dieses System muss man nun lösen.

Comments

Hallo Roland,

Zum 2.Beipiel: Wenn f(x)=x³-1 die Lösung ist, gibt es z.B. die Punkte (0/-1), (1/0) (-2/-9) oder (2/7).

Die Lösung soll f(x) = - x³ - 1 sein, deshalb musst du deine Punkte teilweise korrigieren.

Answer 2

a)

du hast 3 gegebene Punkte, also kannst du 3 Freiheitsgrade verwenden: 

f(x)=ax^2+bx+c

Da du aber den Scheitelpunkt ablesen kannst,eignet sich die Scheitelpunktform besser als Ansatz:

f(x)=a*(x-b)^2+c

Scheitel bei (0,4)

--> f(x)=a*x^2+4

Punkt (2,2) einsetzen zur Bestimmung von a:

f(2)=a*4+4=2

a+1=1/2

a=-1/2

jetzt kannst du nur noch prüfen, ob der zweite Punkt auch auf der Parabel liegt

f(x)=-1/2*x^2+4

f(2.5)=0.875≠1

Das liegt aber daran, dass du den Punkt P unsauber abgelesen hast. Für x=2.4495 ist f(x)=1

Lies lieber nur solche Punkte im Koordinatensystem ab, die eindeutig zu erkennen sind.

b) Aufgrund der Symmetrie handelt es sich um eine Funktion mit ungeraden Exponenten.

Den Punkt S verwenden wir nicht, da er deiner Meinung nach ungenau war.

Da nur 2 Punkte zur Verfügung sind,lautet der Ansatz 

f(x)=ax^3+b 

(nach deiner Beschreibung gänge auch x^1, aber eine Gerade hättest du sicherlich erkannt)

f(0)=a*0+b=-1 --> b=-1

f(1)=a-1=-2--> a=-1

f(x)=-x^3-1

Answer 3

 y=a * x^2+4
f(x)= -x³-1

Die Graphen sind dir bereits gegeben.

~plot~ -0.5 * x^2 + 4 ; - x^3  - 1 ~plot~

und sagen schon eine Menge aus.

Der blaue Graph zeigt eine nach unten geöffnete Parabel die
achsensysmmetrisch zur y-Achse ist. Dies bedeutet : alle Exponenten
sind gerade. Diese ist die Funktion

f ( x ) = a * x^2 + b
Der y-Achsenabschnitt ist 4, also
f ( x ) = a * x^2 + 4
Jetzt brauchst du nur noch 1 Punkt ( x | y )
um a zu bestimmen.

Die zweite Funktion hat keinen Scheitelpunkt mehr ist
punktsymmetrsich zu ( 0 | -1 ). Dies bedeutet : alle
Exponenten sind ungerade.
f ( x ) = a * x^3 + b * x^1 + c

f ( 0 ) = -1 => c = -1
f ( x ) = a * x^3 + b * x^1 -1

Mit den abgelesenen Punkten
P1 ( -1 | 0 )
P2 ( 2 | 9 )
lassen sich a und b berechnen.