Flächeninhalt der grau gekennzeichneten Fläche berechnen

Question

hat man hier die Schnittstelle -1 und 1

Wie berechnet man das Integral über  2Sqrt(x^2-1) berechnen?

also wie bekommt man die Stammfunktion dafür heraus.

Comments

bzw. was sind die Integrationsgrenzen?

a = 0 aber was ist b?

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Die Integrationsgrenzen sind 0 und x. Die Stammfunktion ist nicht ganz einfach.

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Die Stammfunktion wäre

Ohne Bildung der Stammfunktion ist die Aufgabe nicht zu lösen.

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Wie berechne ich die fläche??

Integral über 0 bis x von sqrt(x^2-1)

+ integal von 0 bis 0 von -sqrt(x^2-1)

so???

Answer 1

F(x) = x·√(x^2 - 1) - 2·∫(√(x^2 - 1), x, 1, x) = 2·LN(√(x^2 - 1) + x)/2

Die Stammfunktion rechnet man wie folgt

http://www.integralrechner.de/#expr=%E2%88%9A%28x%5E2%20-%201%29

Comments

wie kommst du darauf das der Flächeninhalt

sich aus  1/2x mal  Sqrt(x^2-1)  - Integral über Sqrt(x^2-1) bilden lässt=???

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Naja. Das ist eine Fläche zwischen zwei Graphen. Also Fläche unter dem Oberen Graphen das ist aber nur ein Dreieck minus Fläche unter dem unteren Graphen und das ist das Integral.

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Oh sorry. Hatte verpennt das mal 2 zu nehmen. Ich berichtige das.

Answer 2

Die Frage lauitet : Bestimmen sie die graue Fläche... als Funktion von x.

Betrachtet werden muß nur die Fläche oberhalb der x-Achse.
Zum Schluß muß diese mal 2 genommen werden.

Die Fläche von x = 0  bis x = 1 ist nur ein Dreieck mit Flächennihalt
A = x * f ( x ) / 2 = x^2 / 2

Ab x > 1 gilt die Differenzfunktion
d ( x ) = x  - √ ( x^2 -1 )
Die Stammfunktion ist
∫ x  - √ ( x^2 -1 ) dx
oder
∫ x  dx - ∫ √ ( x^2 -1 ) dx
x^2 / 2 - ∫ √ ( x^2 -1 ) dx

t2 = ∫ √ ( x^2 -1 ) dx ( siehe meinen Kommentar oben )

Mathematisch nicht ganz korrekt geschrieben
F ( x ) =  [ x^2 / 2 - t2] ₁^x
F ( x ) =  [ x^2 / 2 ]₁^x - [ t2] ₁^x
F ( x ) = x^2 / 2 - 1^2 / 2 - ( t2 ( x ) - t2 ( 1 )
F ( x ) = x^2 / 2 - 1 / 2 -  t2 ( x ) + t2 ( 1 )

Dies ist die Fläche von x = 1 bis x.

Für x ≤ 1 gilt x^2 / 2

Für x ≥ 1 gilt  ( 1^2 / 2 ) +  x^2 / 2 - 1 / 2 -  t2 ( x ) + t2 ( 1 )

Comments

Vergleich Lösung mathcoach und meines Matheprogramms

F ( 3 )  = 1.1387

mathecoach

F ( 3 ) = 0.8813

mathecoach : gilt die von dir gefundene Lösung erst ab x = 1 ?

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Ich habe oben vergessen mit 2 zu multiplizieren. Hab es aber korrigiert

Die Fläche von x = 0  bis x = 1 ist nur ein Dreieck mit Flächennihalt 
A = x * f ( x ) / 2 = x² / 2

Was hast du dort als Funktion genommen ? Nicht √(x^2 - 1) oder?

Ich denke die Gerade soll vermutlich direkt im Punkt (x, √(x^2 - 1)) aufsetzen. Die Gerade hat meiner Meinung nach nicht die Gleichung f(x) = x.

Daher habe ich als Definitionsbereich für x in F(x) auch nur Werte ab 1 und nicht von 0 bis 1.

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Die Gerade beginnt im Ursprung und lautet f ( x ) = x
Eine andere Deutung kann ich dem Graph nicht entnehmen.

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Warum vermutest du das es der Graph von f(x) = x ist? Steht das irgendwo ?

Hier eine größere Skizze so wie ich das sehe. Ich habe mal f(x) = x mit eingezeichnet.

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Ich denke du hast recht.

Ich habe die Skizze und die Beschriftung aufgefaßt als
- gesucht ist die graue Fläche zwischen der Geraden f ( x ) = x
und der Funktion g ( x ) = √ ( x^2 -1 ) in Abängigkeit vom variablem x.

Richtig wird sein
Eine Gerade durch den Ursprung ( m ist variabel ) und die Funktion
g ( x ) = √ ( x^2 -1 ) schneiden sich an beliebigen Stellen x 
Berechne die graue Fläche...

@Fragesteller
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