Die Umkehrfunktion der Formel f(x)=3/(x^2+3x-3)

Question

ich tue mich im Moment schwer, die Umkehrfunktion folgender Aufgabe zu lösen:

f(x)=3/(x²+3*x-3)

Zusätzlich hab ich den Hinweis W-> [0, Unendlich}

Ich würde die Geschichte gerne mit der ABC-Formel lösen. Jedoch fehlt mir schon am Anfang der richtige Ansatz die Formel umzustellen.

Answer 1

(x²+3*x-3) =3/y

Quadratische Ergänzung:

x^2 + 3x + 2,25 - 2,25 -3 = 3/y

(x+1,5)^2 - 5,25 = 3/y

(x+1,5)^2 = 3/y+5,25

Hier wenden wir zunächst einmal unseren Hinweis an,indem wir wissen, dass der Definitionsbereich der Umkehrfunktion gleich  [0, Unendlich} ist.

x +1,5= Wurzel( 3/y + 5,25)   oder x +1,5= -Wurzel( 3/y+5,25)

x = Wurzel(3/y +5,25) -1,5 oder x = -Wurzel(3/y +5,25) -1,5

Ist die Funktion Umkehrbar,für alle Werte aus [0, Unendlich} ?

Comments

Hallo Marvin,

(x+1,5)² - 5,25 = 3/y

(x+1,5)² = 3/y -1,5

Hier dürfte ein kleiner Fehler stecken.

mfg Georg

---

Habs direkt verbessert, leider noch nachdem du die Antwort gesehen hast.

Trotzdem danke :)

Answer 2

y =3/(x²+3*x-3)

tauschen

x = 3 / ( y^2 + 3 * y - 3 )
y^2 + 3 * y - 3 = 3 / x
y^2 + 3 * y + 1.5^2 - 1.5^2 = 3 / x + 3
( y + 1.5 )^2 = 3 / x + 3 + 2.25

y + 1.5 = ± √ (  3 / x + 5.25 )

y = ± √ (  3 / x + 5.25 ) - 1.5

Die Formel gilt nur für  3 / x + 5.25 ≥ 0 ist

Außerdem gibt es 2 " Umkehrfunktion "
y = + √ (  3 / x + 5.25 ) - 1.5
y = - √ (  3 / x + 5.25 ) - 1.5

Soviel zunächst.

Comments

danke für die schnelle Antwort. Dem Weg konnte ich soweit auch folgen. Nur steht in der Musterlösung von meinem Prof. leider unter der Wurzel ein anderes Ergebnis (ohne Lösungsweg):

Dort steht:

f-1(y)=x= -3/2+√((3/y)-(3/4))

Da x größer gleich null sein soll, wissen wir ja, dass das + Zeichen genommen werden soll. Die 3/4 irretieren mich

---

Du hast angegeben

(x²+3*x - 3) =3/y

Die Buchlösung würde stimmen für

(x²+3*x + 3) =3/y