f(x)=ln(-x^2+2x+4)=ln(-[(x-1)^2-5])=ln(-(x-1)^2+5)
die Funktion ist auf (-1,1) injektiv,da ln(-(x-1)^2+5) auf (-1,1) monoton wachsend ist
ln(-(x-1)^2+5) ist surjektiv für W=(-1,ln(5)) --> bijektiv <-> Umkehrfunktion existier
Unkehrfunktion:
ln(-(x-1)^2+5)=y
-(x-1)^2+5=e^y
(x-1)^2=5-e^y
x-1=±√[5-e^y]
x=1±√[5-e^y] x und y vertauschen
y=1±√[5-e^x] D=(-1,ln(5)), W=(-1,1)
Der Wurzelterm ist immer größer als Null, daher fällt das + davor Weg, da ansonsten y niemals -1 werden könnte,was aber erfüllt sein muss wegen W=(-1,1)
y=1-√[5-e^x]
~plot~ ln(-(x-1)^2+5);1-(5-e^x) ^{0.5} ~plot~