Zeigen, warum eine Funktion auf einem Intervall eine Inverse hat

Question

h(x) = e^x/(2+e^2x)

Warum hat h, eingeschränkt auf (-∞,0] eine Inverse? Bestimmen Sie einen Ausdruck für die inverse Funktion.

Hat h eine Inverse, da f-monoton wachsend ist in (-∞,(1/2)ln2] und damit stetig ist und umkehrbar?

Doch wie ist dies gemeint, einen Ausdruck für die inverse Funktion zu bestimmen?

Answer 1

  h ( x ) = e^x / ( 2 + e^2x )

  Bestimmen Sie einen Ausdruck für die inverse Funktion ( Umkehrfunktion ).

  y = e^x / ( 2 + e^2x )

  Umkehrfunktion h ^* ( x )

  x = e^y / ( 2 + e^2y  )  l Nur noch nach y umstellen

   x * ( 2 + e^2y  ) = e^y
  2 * x + x * e^2y = e^y
  x * e^2y - e^y = - 2 * x
  l zur Vereinfachung wird  substituiert e^y = a, e^2y = a^2
  x * a^2 - a^2 = -2*x 
  a^2 - a^2 / x  = -2
  l quadratische Ergänzung oder pq-Formel
 a^2 - a^2 / x   + (1/(2*x)^2 = -2  + 1/(4x^2)
  [ a -1//(2*x) ]^2 = ( - 8x^2 + 1 ) / ( 4x^2 )
  a -1/(2*x)  = ± √( - 8x^2 + 1 ) / ( 2x ) 
  a = ± √( - 8x^2 + 1 ) / ( 2x ) + 1/(2x)   l rücksubstituieren
  e^y  = ± √( - 8x^2 + 1 ) / ( 2x ) + 1/(2x)   l  ln als Umkehr von e

  y =   ln ( ± √( - 8x^2 + 1 ) / ( 2x ) + 1/(2x) ) 
  h ^* ( x ) =   ln ( ± √( - 8x^2 + 1 ) / ( 2x ) + 1/(2x) )   l müßte stimmen

  Warum hat h, eingeschränkt auf (-∞,0] eine Inverse ( Umkehrfunktion ) ?

  Hier muß man zeigen das h im Intervall  [ -∞ ; 0 ] monoton ist

  1.Ableitung

    h ´ ( x ) =(  e^x * ( 2 + e^2x )  - e^x * 2*e^x ) / ( 2 + e^2x )^2
    h ´ ( x ) = e^x * (  2  + e^2x  - 2*e^x ) / ( 2 + e^2x )^2
    h ´ ( x ) = e^x * (  2  - e^2x  ) / ( 2 + e^2x )^2

    Monotonie > 0 falls
     2  - e^2x > 0 
     e^2x < 2
     -√2 < e^x < √2 l e^x ist immer positiv deshalb
     0 < e^x < √2  l ln als Umkehrfunktion von e
     ln(0) < x <  ln( √2 )
     - ≈ < x <  ln( √2 )
     Das heißt die Funktion h ( x ) ist in diesem Bereich monton steigend.

     Am besten du läßt dir die Funktion h einmal als Graphik
von einem Funktionsplotter zeichnen.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

   

Comments

 

Ich verstehe leider die quadratische Ergänzung nicht ganz. Ich erhalte a²-(a/x) + (1/4x²)= -2+(1/4x²). -> Also nicht a²/x

Und was genau erreiche ich nun mit der quadratischen Ergänzung, was brauche ich überhaupt? Und was stelle ich weiter an mit der Gleichungsform die ich oben geschrieben habe (ich kann Ihre weiteren Schritte leider nicht nachvollziehen..)

Freundliche Grüsse

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  ich denke bei mir ist ein kleiner Schreibfehler vorhanden.
   x * e^2y - e^y = - 2 * x
  l zur Vereinfachung wird  substituiert e^y = a, e^2y = a²
  l bis hierhin noch alles nachvollziehbar ?
  l Jetzt muß es aber lauten
  x * a² - a = -2*x 
  a² - a / x  = -2
  l quadratische Ergänzung oder pq-Formel
 a² - a / x   + (1/(2*x)² = -2  + 1/(4x²)
  l so, jetzt stimmt wieder alles mit meinem Berechnungsgang
  l oben überein
  [ a -1/(2*x) ]² = ( - 8x² + 1 ) / ( 4x² )
  usw.

  Ich habe an dich die Frage : Quadratische Gleichungen kann
man mit der sogenannten quadratischen Ergänzung oder der
pq-Formel berechnen. Kennst du die Verfahren ? Sonst erkläre
ich dir Schritt für Schritt was ich oben gemacht habe.

  Falls etwas unklar ist bitte unbedingt wieder melden. Mein
Ziel ist es das du die Berechnung oben komplett verstehst.

  mfg Georg

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Noch eine Frage zum ersten Teil, die Bestimmung der Inversen:

In den Lösungen ist geschrieben:

e^y = [1 ± √1-8x²]/2x Dies haben wir ja auch erhalten. Nun ist aber weiter geschrieben:

Da x=1/3 für y=0, zeigt dies, dass e^x=[1-√1-8x²]/2y sein muss. Also es ist nun nicht mehr ± sondern nur noch -, jedoch verstehe ich nicht wieso (also ich verstehe die Begründung nicht mit 1/3 und y=0)

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Funktion h (x ) = e^x /( 2+ e^2x )  
Die Umkehrfunktion lautet ( vorletzter Schritt )
 e^y = [ 1 ± √ ( 1-8x^2 ) ] / 2x

 In der Skizze weiter unten sind h (x) und h* (x) eingzeichnet,
sowie
  - der Schnittpunkt von h(x) mit der y-Achse ( 0 l 1/3 )
  - und der Schnittpunkt von h*(x) mit der Achse ( 1/3 l 0 )

  Setze ich in die Umkehrfunktion ( siehe oben ) für x = 1/3
ein so erhalte ich
[ 1 - √ ( 1-8*(1/3)^2 ) ] /( 2*1/3)
[ 1 - √ ( 1/9 ) ] / (2/3)
[ 1 - 1/3 ] / ( 2/3)
 2 / 3  / (2/3 ) = 1
Dies entspricht e^y = e^0 = 1

Jetzt hast du die Umkehrfunktion gebildet
 e^x = [ 1 ± √ ( 1-8 x^2 ) ] / 2y
( leider mit einem kleinen Fehler, es muß heißen )
 e^x = [ 1 ± √ ( 1-8y^2 ) ] / 2y

  Wenn ich von der Umkehrfunktion die Umkehrfunktion
bilde erhalte die ursprüngliche Funktion. Also
  ( e^x = [ 1 ± √ ( 1-8y^2 ) ] / 2y) = h(x)

  Jetzt überleg einmal und schau dir die Skizze an :
in h* (x) gehe ich bei x = 1/3 in den Graphen und lese den
y-Wert = 0 ab.
  Gehe ich in h(x) mit x= 0 in den Graphen lese ich y = 1/3 ab.

Aus h(x) folgt :  
e^x = [ 1 ± √ ( 1-8y^2 ) ] / 2y
e^0 = [ 1 ± √ ( 1-8*(1/3)^2 ) ] / 2*1/3

  Siehe oben. Die Gleichung stimmt.

  Zugegeben : das ganze ist  ziemlich verdreht.
Zumal noch ein ± - Zeichen vorhanden ist.. Wenn du dir
aber die komplette Umkehrfunktion einzeichnest  wirst
du feststellen das es für jeden x-Wert zwei y-Werte
gibt. Genau wie es für die Funktion h ( x ) für jeden
y-Wert 2 mögliche x-Werte gibt. Deshalb die Einschränkung
des Definitionsbereichs.

    In der Aufgabentellung war nur verlangt das eine inverse Funktion
( im Bereich -unendlich bis 0 ) von h(x) vorhanden ist und die
inverse Funktion war anzugeben.

  Falls weitere Fragen vorhanden sind dann wieder melden.

  mfg Georg
 

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 Was für ein Aufwand :D Super