Gegeben sind zwei Polynome, gesucht ist die Form der Polynome, für die sie eine gemeinsame Nullstelle haben

Question

Ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe. Wie finde ich die gesuchten Zahlen?

Answer 1

$$f(x)= x^3-\lambda \, x +2 $$
$$g(x)= x^2+\lambda \, x +2 $$
$$0= x^2+\lambda \, x +2 $$
$$-\lambda \, x  = x^2+2$$
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$$0= x^3-\lambda \, x +2 $$
$$0= x^3+x^2+2 \, x +2 $$

Das geübte Auge erkennt:
$$XXXXXXX$$

EDIT:das geübte Auge hat sich vertippt: XXXX

und nochmal editiert, weil so schön ist: $$x_0=-2$$

nun noch das dazu passende Lambada ausrechnen und fertsch

Comments

Nach der Polynomdivision durch den Linearfaktor der gemeinsamen reellen  Nullstelle, kann man sich noch um die konjugiert-komplexen bemühen ...

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Hat man damit alle \( \lambda \) gefunden, für die die Polynome eine gemeinsame Nullstelle haben?

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okay dankeschön. diesen Weg kann ich nachvollziehen. In der Vorlesung behandeln wir gerade das Thema Resultanten, und ich denke zu dieser Aufgabe ist der Satz im Anhang die Lösung. Allerding bin ich mir nicht sicher, ob ich die richtige Matrix aus den Polynomen gebildet habe, ich komme nämlich auf keine richtige Lösung.

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Nach der Polynomdivision durch den Linearfaktor der gemeinsamen reellen  Nullstelle (...)

Warum ist die gemeinsame Nullstelle reell?

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Ich bitte um Beachtung der Korrektur in meiner Antwort!

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Es handelt sich nur um eine der möglichen Nullstellen - die erste ist verhältnismäßig einfach zu entdecken - daher reell.

Mit der Cardanischen Formel kommt man auch auf die restlichen konj. kompl. NSt.

Da dieses Monstrum nicht mehr in praktischer Anwendung ist, empfihlt sich die Reduktion des Grades eines Polynoms durch Division eines bekannten Linearfaktors. Hier ist gleichwohl ein reeller Wert wesentlich leichter in der Handhabung als ein komplexer.

Mehrfach abwechselndes Dividieren und Subtrahieren mit komplexen Zahlen ist was für ehrlose Sünder!

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Statt  x₀ = -1  kommt doch wohl  λ = -1  heraus !

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Wenn ich die x_0=-2 nehme, die ich vorhin kaputteditiert habe, kommt dies da raus:

$$f(x)= x^3-\lambda \, x +2 $$
$$g(x)= x^2+\lambda \, x +2 $$
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$$x_0=(-2)$$
$$f(x)= (-2)^3-\lambda \, (-2) +2 $$
$$g(x)= (-2)^2+\lambda \, (-2) +2 $$
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$$f(x)= -8+2 \lambda \,  +2 $$
$$g(x)= 4-2\lambda \,  +2 $$
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$$0= -6+2 \lambda \,   $$
$$0= 6-2\lambda \,   $$
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$$\lambda \, =3  $$