Polynome mit ungeradem Grad besitzen immer eine relle Nullstelle

Question

nachdem ich mir den Beweis zu der im Thema genannten Aussage angeschaut habe, möchte ich wissen ob ich das auch richtig verstanden habe.

Aufgabe 3.2 vom nachfolgenden Blatt zeigt den Beweis.

http://www.ma.tum.de/foswiki/pub/HM/EI2SoSe10/Blaetter/blatt03-lsg.pdf

Habe ich das richtig verstanden, dass das an dem ausgeklammerten x^2k+1 (Potzen ist ungerade) liegt?

Weil im ersten Fall, wenn man x -> unendlich laufen lässt, ist x^2k+1  > 0 und im anderen fall bei x -> -unendlich, ist x^2k+1 < 0.

dh. nach Mittelwertsatz gibt es min. eine relle Nullstelle.

Hätte x^2k+1 einen geraden Exponenten, wäre es ja in beiden Fällen > 0 oder < 0 dh. das es fälle gibt in denen diese Polynome keine Nullstellen haben.

LG

Answer 1

Es gibt einen eleganteren Beweis. Ein Polynom n-ten Grades besitzt in \( \mathbb{C} \) genau n Nullstellen. Wenn \( z \) eine Nullstelle ist, ist auch \( \overline{z} \) eine Nullstelle. Wenn also \( n \) ungerade ist, muss also eine Nullstelle reell sein.

Comments

Das beantwortet leider nicht meine Frage.  Stimmt es so, wie ich es beschrieben habe auch?

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Also der Exponent \( 2k+1\) ist immer ungerade solange man \( k \in \mathbb{Z} \)  betrachtet. Ist der führende Koeffizient ungerade, nimmt das Polynom Werte zwischen \( -\infty \) und \( \infty \) an. Ist der führende Koeffizient gerade kann man das nichtso schliessen, da das Polynom für \( x \to \pm \infty \) immer gegen \( \infty  \) geht.