Warum ist bei Z[√2] R^x unendlich?

Question

Sei R der Ring ℤ[√2]:={a+b√2 | a,b ∈ℤ}Zeigen die dass R^x unendlich ist?
Wieso sollte R^x unendlich sein und vor allem wie beweise ich dass?

Comments

Was ist R^x? Wo kommt so plötzlich das x her? Ist R^x die Menge der Abbildungen von x nach R? Oder das cartesische Produkt R×R×...×R mit x Komponenten? Oder habt ihr da vielleicht euer ganz eigenes Süppchen gekocht?

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Es ist die Einheitengruppe

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Die Einheitengruppe von R wir üblicherweise mit R^× anstatt mit R^x bezeichnet.

Answer 1

1. Löse die Gleichung (a+b√2)·z=1 nach z auf.
2. Erweitere mit (a-b√2).
3. Wende binomische Formel im Nenner an.
4. Schreibe das Resultat in der Form r + s√2.
5. Zeige dass es unendlich viele Paare (a,b) gibt, so dass r und s ganzzahlig sind.
   

Comments

Deshalb soll die Einheitengruppe unendlich sein? Müsste man nicht so etwas wie das Inverse oder so berechnen?

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Ich bin von R^x ausgegangen anstatt von R^×. Ich habe meine Antwort den neuen Erkenntnissen angepasst.