Erzeugte Menge X P(x) Unendlich

Question

Sei X eine unendliche Menge. Zeigen Sie, dass P(X) mit der symmetrischen Differenz eine kommutative Gruppe . Welche Unter￾gruppe wird von der Menge der einelementigen Teilmengen von X erzeugt?

Answer 1

Du musst zeigen, dass die symmetrische Differenz eine assoziative Verknüpfung auf P(X), die kommutativ ist, dass ein neutrales Element in P(X) existiert und dass zu jedem Element von P(X) ein inverses Element in P(X) existiert.

Symmetrische Differenz ist definiert als A•B := A\B ∪ B\A für alle Mengen A, B.

1. Verknüpfung: sind A,B ∈ P(X), dann ist A\B ∈ P(X) und B\A∈ P(X), also auch A•B = A\B ∪ B\A ∈ P(X).
2. Assoziativität: Zeige, wenn A,B,C ∈ P(X) sind, dann ist (A•B)•C = A•(B•C). Mengengleichheit M = N zeigt man indem man M⊂N und N⊂M zeigt. M⊂N zeigt man so: Sei m∈M. Dann ist ... . Also ist auch m∈N. Fülle die Lücke aus.
3. Kommutativität: Zeige dass A•B = B•A für alle Mengen A, B ist.
4. Neutrales Element: Zeige dass A•∅ = A ist.
5. Inverse Elemente: Zeige dass A•A = ∅ ist.

> Welche Untergruppe wird von der Menge der einelementigen Teilmengen von X erzeugt?

Wenn A und B einelementig sind, was  ist dann A•B?