Differentierbarkeit/Stetigkeit mit Bedingung

Question

Hi,

ich suche für folgende unten aufgezeigte Aufgabe eine Anleitung/Rezept wie man vorgehen muss um solche Aufgaben zu lösen. Was Differenzierbarkeit und Stetigkeit ist, weiß ich - jedoch nicht wie man solche Aufgaben löst. Eine Art "Dummie"-Video wäre optimal.

Answer 1

1.) ich kann bei a.)  den letzten Text " sin x  ?  0 " leider nicht lesen.

2.)

Steigung zwischen der Stelle x = 0 und dem Funktionswert x = 0(+)

 Es gibt eine Steigung zwischen dem Punkt ( 0 | 0 ) und dem
letzten Punkt des Funktionsteil " x^2 / sin x " .
Die Berechnung dieser Steigung erfolgt über den Differenzen- bzw
dann über den Differentialquotienten.

Comments

sin  x =/= 0

ich werd mir das mal angucken. hoffentlich hat das nichtlesbare nichts an der Lösung verändert.

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Zur Bestätigung
a.) sin ( x ) ≠ 0
Quotientenregel wie die Antwort von jc2144

Answer 2

a) f(x)=x^2/sin(x)

Ableitung (für sin(x)≠0) mit Quotientenregel:

f'(x)=[2x*sin(x)-x^2*cos(x)]/(sin(x)^2)

b) f'(0)=lim h-->0 (f(h)-f(0))/h=lim h-->0 h/sin(h)=1 (weil sin(h)≈h für h nahe 0)

c)Stetigkeit von f'(x) in x=0

Es muss also also gelten lim x-->0 [2x*sin(x)-x^2*cos(x)]/(sin(x)^2)=1

 lim x-->0 [2x*sin(x)-x^2*cos(x)]/(sin(x)^2)

=lim x--> 0 2*x/sin(x)-lim x--> 0 x^2*cos(x)/sin(x)^2

=2-1=1 --> f'(x) ist stetig in x=0