Integralrechnung Verständnis. Partielle Integration bei Fourrierreihe von Dreieckssignal.

Question

Hier Eine weitere Integralrechnung die ich nicht wirklich verstehe.

[Es geht eig. um die Fourierreihe eines Dreiecksignals mit 2pi-Periode und x(t)= -1, falls -pi<=t<0

und 1, falls 0<=t<pi]

b_k = $$ \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ t\quad sin(kt)\quad dt }  $$

Wir teilen das Integral auf und erhalten :

$$ \frac { 1 }{ \pi  } (\int _{ -\pi  }^{ 0 }{ -sin(kt)dt\quad +\quad \int _{ 0 }^{ \pi  }{ sin(kt)\quad dt }  } $$

=>  $$ \frac { 1 }{ \pi  } ([\frac { 1 }{ k } cos(kt){ ] }_{ -\pi  }^{ 0 }\quad +[\frac { 1 }{ k } cos(kt){ ] }_{ 0 }^{ \pi  }) $$

Soweit so gut, aber welche Regeln wurden benutzt um von hier auf folgende Zeile zu kommen?:

$$ =\frac { 2 }{ \pi  } \quad \cdot \quad (\frac { 1-cos(k\pi ) }{ k } )\quad $$

Freue mich auf eine verständliche Erklärung.

Gruß,

DunKing

Comments

Kann es sein, dass bei deinem Rechenweg ein paar Zeichen fehlen oder du dich vertippt hast?

Soll es heißen \( x(t) \) statt \( t \)? Und du hast einen Vorzeichenfehler bei der rechten Stammfunktion, oder?

Es gilt

\( \int_{-\pi}^{\pi} \sin(kt) dt = \int_{-\pi}^{0} \sin(kt) dt + \int_{0}^{\pi} \sin(kt) dt \)

und

\( \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(kt) dt = \int_{-\pi}^{0} t \sin(kt) dt + \int_{0}^{\pi} t \sin(kt) dt \).

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Wolltest du das Integral

\( \int_{-\pi}^{\pi} x(t) \sin(t) dt \)

mit

\( x(t) = \begin{cases} -1\ \text{ für } -\pi \leq t < 0 \\ 1\ \text{ für }  0\leq t < \pi \end{cases} \)

lösen?

\( x(t) \) ist gar kein Dreieckssignal, oder?

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Hallo Mister, 

Danke für die Antwort. Ja es ist kein Dreiecksignal sondern ein Rechtecksignal und ja, ich hatte da einen Vorzeichenfehler bei der rechten Stammfunktion.

War Gestern wohl etwas arg überfordert^^

Answer 1

du setzt die Grenzen ein und erhältst

\( \frac{1}{k \pi} \left( \left[ \cos(kt) \right]_{-\pi}^{0} - \left[ \cos(kt) \right]_{0}^{\pi} \right) \)

\( = \frac{1 - \cos(-k \pi) - \cos(k \pi) + 1 }{k \pi} \)

\( = \frac{2(1 - \cos(k\pi))}{k \pi} \),

weil \( \cos(-k \pi) = \cos(k \pi) \) ist.

Mister

Comments

Super!

Das cos(-kπ) = cos(kπ) ist und somit eine 2 ausgeklammert werden kann hat mir gefehlt.

Answer 2

Gilt es für  t * sin (kt)  die Stammfunktion zu finden ?

Mein Matheprogramm kommt auf dasselbe Ergebnis.

Comments

@georgborn. DunKing hatte wohl eher Probleme mit den Grenzen, da die partielle Integration noch nicht verstanden war. Es gab gestern mindestens 3 Aufgaben von DunKing zu partieller Integration. 

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Ich warte  einmal ab ob der Fragesteller sich meldet.

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Den Kommentar von hj2166 zu entfernen war echt unnötig. Er war nicht böse gemeint und verstößt in keinster Weise gegen die AGB dieser Seite. Streng genommen war er logisch gesehen auch richtig. Ich finde es unfair, dass Gast Nutzer so sehr benachteiligt werden.

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Ich war vor allem der Ansicht, dass es dem Fragesteller bei dieser Frage nichts nützt, wenn Georg eine Antwort von Lu, die zu einer ganz anderen Frage gehört und zu dieser Frage überhaupt nicht passt, an dieser Stelle wiederholt, zumal diese Frage hier von Mister bereits erschöpfend beantwortet wurde.

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Auch hier vielen Dank, werde mich beim lösen weiterer solcher Aufgaben an diesem Beispiel orientieren können.