Integralrechnung, Fourieranalyse

Question

Ich tue mich wieder bei einer Aufgabe zu den Fourierreihen schwer. Hauptsächlich habe ich Probleme in der Integralrechnung.

Zu der 2π-periodischen Sägezahnschwingung mit x(t)=t und  -π <= t <π soll die zugehörige Fourierreihe berechnet werden.

Nachdem ich selber viel gerechnet habe aber ständig auf ein falsches Ergebnis komme habe ich mir die Musterlösung angeschaut. Mir ist bewusst wieso a0 und ak bei diesem Signal wegfallen.

$$\frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ x(t)\quad sin(kt)\quad dt } \quad \quad =\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ t\quad sin(kt)\quad dt\quad =\quad  } \frac { 1 }{ \pi  } ([-\frac { 1 }{ k } cos(kt)\quad \cdot \quad t{ ] }_{ -\pi  }^{ \pi  }\quad +\int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \frac { 1 }{ k }  } cos(kt)dt)\quad \\ \\ \overset { * }{ = } \frac { 1 }{ \pi  } ([-\frac { 1 }{ k } cos(kt)\quad \cdot \quad t{ ] }_{ -\pi  }^{ \pi  }\quad +\quad [\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \quad cos(kt){ ] }_{ -\pi  }^{ \pi  }\quad \quad =\quad -\frac { 2 }{ k } cos(kt) $$

Hier komme ich einfach nicht darauf wie man auf die zweite Zeile ( = mit *) kommt. Alles davor habe ich verstanden.

Intuitiv würde ich sagen das der erste Teil 0 wird, da sich der cos für -pi oder pi nicht ändert und sich das somit aufhebt. Beim zweiten Teil ist es mir ein Rätsel wie es überhaupt dazu gekommen ist.

Würde mich auf jede Hilfe freuen.

Gruß,

DunKing

Answer 1

das nennt man "partielle Integration".

Die Formel dazu ergibt sich direkt aus der Formel zur Ableitung von Produkten.

f(x) = g(x) * h(x)

f ' (x) = g '(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

Kurz:

( g(x) * h(x) )' = g '(x) * h(x) + g(x) * h'(x)

oder umgeformt zu

 g '(x) * h(x) = (g (x) * h(x))' -  g(x) * h'(x)               | rechts und links integrieren.

∫ g'(x) * h(x) dx = g(x) * h(x) - ∫ g(x) * h'(x) dx 

Diese Formel wurde verwendet um das Produkt im Integranden zu integrieren.

Nun schaust du mal die Theorie zur partiellen Integration an. Am besten in deinen eigenen Unterlagen oder dann hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration#Regel_der_partiellen_Integration

Comments

Hallo Lu,

Ich meinte eigentlich das ich den Übergang von der zweiten zur letzten Zeile nicht nachvollziehen kann. Im Editor war das wohl noch die zweite Zeile, sorry.

Also die Partielle Integration die hier (zweite Zeile) angewandt wurde, verstehe ich.

$$ Aus\quad \frac { 1 }{ \pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ t\cdot sin(kt)\quad dt } \quad wählen\quad wir:\\ \\ u=t\quad ;\quad u=\quad 1\quad und\quad v=sin(kt)\quad ;\quad v=-\frac { cos(kt) }{ k } \\ \\ Daraus\quad erhalten\quad wir\quad dann:\\ \frac { 1 }{ \pi  } (-\frac { 1 }{ k } cos(kt)\cdot t{ | }_{ -\pi  }^{ \pi  }\quad +\int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \frac { 1 }{ k }  } cos(kt)\quad dt\\ \\ Bis\quad hierhin\quad verstehe\quad ich\quad auch\quad alles.\quad Verstehe\quad aber\quad nicht\quad wie\quad man\quad von\quad hier\quad auf\quad die\quad nächste\quad Zeile\quad kommt.\\ \\ Nun\quad hatte\quad ich\quad gestern\quad stundenlang\quad versucht\quad das\quad rechte\quad Integral\quad erneut\quad mit\quad \\ partieller\quad Integration\quad zu\quad lösen,\quad bis\quad ich\quad gemerkt\quad hab\quad dass\quad das\quad gar nicht\quad nötig\quad ist,\quad da\frac { 1 }{ k } \quad lediglich\quad ein\quad Faktor\quad ist,\\ den\quad ich\quad vor\quad das\quad Integral\quad ziehen\quad kann.\\ \\ Erst\quad mache\quad ich\quad nochmal\quad mit\quad der\quad linken\quad Seite\quad weiter:\\ -\frac { 1 }{ k } cos(kt)\cdot t{ | }_{ -\pi  }^{ \pi  }\quad \quad =>\quad (-\frac { 1 }{ k } cos(k\pi )\cdot \pi )\quad -\quad (-\frac { 1 }{ k } cos(k(-\pi ))\cdot (-\pi ))\quad =\quad 0,\quad da\quad es\quad kein\quad Unterschied\quad macht\quad ob\quad \pi \quad oder\quad -\pi .\\ Wenn\quad das\quad so\quad richtig\quad ist,\quad mache\quad ich\quad mit\quad der\quad linken\quad Seite\quad weiter:\\ \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ \frac { 1 }{ k }  } cos(kt)\quad dt\quad \quad =\quad \frac { 1 }{ k } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ cos(kt)\quad dt\quad =\quad \frac { 1 }{ k }  } \cdot \frac { 2sin(k\pi ) }{ k } =\quad \frac { 2sin(k\pi ) }{ { k }^{ 2 } } \\ \\ Somit\quad haben\quad wir\quad dann\quad :\\ \\ \frac { 1 }{ \pi  } (0\quad +\quad \frac { 2sin(k\pi ) }{ { k }^{ 2 } } )\quad =\quad \frac { 1 }{ \pi  } \cdot \frac { 2sin(k\pi ) }{ { k }^{ 2 } } \quad was\quad sich\quad aber\quad von\quad der\quad Lösung\quad unterscheidet.\quad Generell\quad ist\quad es\quad mir\quad ein\quad Rätsel\quad wie\\ wir\quad im\quad Ergebnis\quad cos\quad stehen\quad haben\quad können\quad wenn\quad dieser\quad doch\quad integriert\quad wird. $$

Habe jetzt alles im Editor verfasst, hoffe das ist nicht zu unübersichtlich. Habe ich das so richtig gemacht? Falls ja, wurde hier irgendwie am Ende der Sinus in einen Cosiunus umgewandelt?

---

Hallo.

Erst mal zu deiner 3. Zeile in der Fragestellung

Der fragliche Kosinus muss definitiv ein sinus sein. Die haben dort einen Druckfehler.

Ausserdem gilt ja sin(π) = sin(-π) = 0, womit der 2. Summand in der 3. Zeile entfällt, wenn du die Grenzen einsetzt.

Nun zu deiner nachgelieferten Rechnung.

Dort, wo du auf der "linken Seite" weitermachst, gibt das nicht 0. Ein Minus löst sich mit (-π) auf. Das andere bleibt aber, und ja cos(k*π) = cos(-k*π) .

Zum Schluss noch bei der nachgelieferten Rechnung zur  "rechten Seite": sin(kπ) = 0, wenn k eine ganze Zahl ist.