Konvergenz von n-te Wurzel Iterationsvorschrift

Question

Hi, die Aufgabe steht unten. Ich habe mir gedacht ich zeige das mit Monotonie und Beschränkheit. Bei Montonie aber ist mir aufgefallen, dass das nicht wirklich geht. Denn wenn ich einfach mal annehmen, dass x_k+1 steigend ist, muss gelten x_k+1>x_k, dann bekomme ich a>x_k^n.Aber das weiss ich doch nicht.

Habt ihr eine Idee?

Answer 1

Monoton steigend für x_k+1 >= x_k

Ich schreibe für x_k einfach mal x

(n - 1)/n·x + a/(n·x^{n - 1}) >= x

Auflösen nach x ergibt

x^n ≤ a bzw. x <= ⁿ√a

Solange noch nicht die n.Wurzel aus a erreicht ist steigt der Wert also weiter.

Comments

ah ok. Es könnte auch theoretisch auch monoton fallend sein, oder nicht? Es ist nur wichtig, dass es monoton dann ist. Also kann ich doch ohne Einschränkung annehmen, dass x <= ⁿ√a gilt?

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Naja. Das gleiche machst du für monoton Fallend und wirst dann herausbekommen das

x >= ⁿ√a

Also solange x größer als unser Grenzwert ist fällt es.

Du kannst theoretisch auch zeigen das du dich dem Grenzwert unendlich dicht annäherst.