Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit? Labortest von Blutwerten 99 % positiv

Question

Ein Labortest von Blutwerten fällt beim Vorliegen einer bestimmten Krankheit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 99 („99 Prozent“) positiv aus. Der Test gibt jedoch bei damit untersuchten gesunden Personen im Mittel bei 1 Prozent ein „falsch positives“ Ergebnis; wenn also eine gesunde Person getestet wird, so zeigt der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 01 an, dass die Krankheit bei der Person vorliegt. Bekannt ist ferner, dass 0,5 Prozent der Bevölkerung von der Krankheit befallen ist.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig bestimmte Person tatsächlich erkrankt ist, wenn der Test bei einer Untersuchung dieser Person positiv ausfällt?

Answer 1

4 Felder Tafel

	Krank	Gesund	Gesamt
Test positiv	0.00495	0.00995	0.0149
Test negativ	0.00005	0.98505	0.9851
Gesamt	0.005	0.995	1

 

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig bestimmte Person tatsächlich
erkrankt ist, wenn der Test bei einer Untersuchung dieser Person positiv ausfällt?

P = 0.00495 / 0.0149 = 99/298 = 33.22%

Answer 2

Vierfeldertafel (die fetten Zahlen wurden durch die Aufgabenstellung vorgegeben):

 

                                Test positiv                           Test ¬ positiv

Krank                      0,99*0,005                            0,01*0,005                             0,005

 

¬Krank                   0,01*0,995                            0,99*0,995                              0,995

                                0,0149                                   0,9851                                      1

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig bestimmte Person tatsächlich erkrankt ist, wenn der Test bei 

ihr positiv ausfällt, beträgt dann: 

(0,99*0,005) / [ (0,99*0,005) + (0,01*0,995) ] =

(0,99*0,005) / 0,0149 ≈ 0,3322 = 33,22%

Comments

okay diese Rechnung

(0,99*0,005) / [ (0,99*0,005) + (0,01*0,995) ]

Ist eine allgemeine Formel oder wie kommt man darauf?

---

Es geht ja um die bedingte Wahrscheinlichkeit: Unter der Bedingung, dass der Test positiv ausgefallen ist, wie groß ist dann die W., dass die betreffende Person tatsächlich krank ist.
Dann muss man das Feld "Test positiv und krank" durch die Randwahrscheinlichkeit der Bedingung "Test positiv" teilen.
Anderes Beispiel:
Wie groß ist die W., dass die betreffende Person tatsächlich nicht krank ist, wenn der Test negativ ausgefallen ist?

Dann müsste man 0,99*0,995 durch die Randwahrscheinlichkeit der Bedingung "Test negativ" 0,9851 teilen.


Oder:
Wie groß ist die W., dass der Test positiv ausfällt, wenn die Person tatsächlich krank ist?

0,99*0,005 / 0,005 - Randwahrscheinlichkeit der Bedingung "krank"


Klar?