Kritische Stellen von Funktion mit zwei Variablen

Question

Berechne die kritischen Stellen von f(x)=0,5(x+y²+(x-y)³.

Mein Ansatz:

1.) partielle Ableitungen bilden und gleich null setzen.

I x+y+3(x-y)²=0

II x+y-3(x-y)^{^2}=0

2.) Gleichungssystem auflösen ergibt:

x=0 und y=0

3.) Ist kritische Stelle Minium oder Maximum --> in Heese Matrix kritische Stellen einsetzen und Eigenwerte berechnen

--> Eigenwerte sind l=2 und l=0

--> Matrix ist semidefinit und somit ist kritische Stelle x,y=0 Maximum.

Ist meine Rechnung bzw. Ansatz richtig?

Answer 1

Berechne die kritischen Stellen von f(x)=0,5(x+y²)+(x-y)³.    Klammer ???

Mein Ansatz:

1.) partielle Ableitungen bilden und gleich null setzen.

I 0,5+3(x-y)²=0

II y-3(x-y)²=0

2.) Gleichungssystem auflösen ergibt:

y=-0,5 und x=-0,5

siehe auch

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+0.5(x%2By%5E2)+-+(x-y)%5E3

Comments

Ja, ich habe mich vertippt, ich meinte: f(x)=0,5(x+y)²+(x-y)^3. Somit müssten die kritischen (0,0) sein, aber ein Minimum!

Danke für den Link!

Answer 2

Hi,

yup sehe ich auch so. Für f(x)=0,5(x+y)²+(x-y)³, hast Du die kritische Stelle (0,0) welche sich als Maximum herausstellt.

Grüße

Comments

Danke, aber nach der Grafik, müsste es ein Minum sein, denn die Eigenwerte sind auch größer, gleich 0- habe mich dort vertan!

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Ah sry, hatte zwar die Eigenwerte als richtig befunden, dann aber Deiner Aussage geglaubt. Wenn ich mich recht erinnere, kann man bei einer semidefiniten Hesse-Matrix keine Aussage treffen. Man muss sich die Stelle vor Ort anschauen. Ein Bild liefert, wenn man sich die jeweilgen Achsen anschaut, also x und/oder y 0 setzt. In beiden Fällen ergibt sich ein Minimum vor Ort, was die Vermutung nahe legt, dass wir an der Stelle (0;0) in der Tat ein Minimum vorliegen haben ;).