Wie oft muss bei sinkenden Wahrscheinlichkeiten schießen, damit P(treffen) bei mind. 0,99 liegt?

Question

Ich schieße auf ein bewegliches Ziel. Die Wahrscheinlichkeit, es beim ersten Versuch zu treffen sei 0,8 und sie verringert sich schrittweise mit jedem Schuss jeweils um die Hälfte. Wie oft muss ich schießen, sodass die Wahrscheinlichkeit zu treffen mindestens 0,99 beträgt?

Ich hab echt keine Ahnung wie ich das rechnen soll, wenn die Wahrscheinlichkeit immer gleich bliebe würde ich es verstehen, aber so brauch ich unbedingt Hilfe!

Comments

Vom Ansatz her irgendwie

1 - ∏ (k = 1 bis n) (1 - 0.8·0.5^{k - 1}) >= 0.99

Nun stoße ich auf 2 Probleme.

1. Das Auflösen nach n bereitet Probleme.

2. Es schaut so aus als wenn es für n dabei keine Lösung gibt.

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Danke für die Antworten!  Vielleicht hab ich ja auch irgendwas falsch verstanden, die Originalfrage ist so:
2. Shots were made against a moving target. With the first shot, the probability of hitting the target is 0.8 and each successive shot the probability of impact decreases by one half. (a) Describe the PMF of the number of impacts with two shots.(b) How many shots have to be made so that the probability of impact is not less than 0.99?
LG

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Ja dein Ansatz ist richtig. Ich denke eine Lösung gibt es nicht, weil die Wahrscheinlichkeit zu schnell sinkt.

Ich habe es mit Wolfram überprüft:

https://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=1-product_(k%3D1)%5Einfinity(1-0.8+(1%2F2)%5E(k-1))

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@gastzugang1108: Du hast ganz zu Beginn der Fragestellung ein " 2. "

Gibt es ein "1.," bei dem diese "shots" schon genauer erklärt wurden?

Ausserdem scheint mir in " and each successive shot the probability of impact decreases by one half.  " ein Wort zu fehlen. Kontrolliere vielleicht die englische Version nochmals. 

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Den umfangreichen Spam-Markierungs-und-Löschvorgang hätte ich nun doch mal gerne erläutert!

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Wenn du diskutieren möchtest dann kann ich dir die Community-Seite empfehlen:

https://www.mathelounge.de/chat

Ansonsten bitte ich darum hier wirklich nur sachdienliche Hinweise zu den Aufgaben und deren Beantwortung zu schreiben.

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Diskutieren möchte ich nicht und mein Beitrag war sachdienlich gemeint!

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Na immerhin sieht man seine verschwundenen Kommentare jetzt. Im übrigen finde ich es gut, das meine fehlerhafte Antwort gelöscht wurde, weil die Mist war.

Answer 1

sei \( P_k(T) = 0,8 \cdot 0,5^{k-1} \) die Wahrscheinlichkeit, beim \( k \)-ten Versuch zu treffen.

Entsprechend ist \( P_k(F) = 1 - P_k(T) \) die Wahrscheinlichkeit, beim \( k \)-ten Versuch nicht zu treffen.

Es ist nun die Wahrscheinlichkeit, beim \( X = a \)-ten Versuch den ersten Treffer zu erzielen, gegeben durch

\( P(X = a) = \prod_{k=1}^{a-1} P_k(F) \cdot P_a(T) \).                    (1)

Da für endliches \( k \) jedes \( P_k(T) \) und \( P_k(F) \) echt kleiner als \( 1 \) sind und \( P_1(T) = 0,8 \) echt kleiner als \( 0,99 \) ist, kann kein Produkt der Form (1) größer als oder gleich \( 0,99 \) werden.

Mit anderen Worten: Die Folge \( f_a = P(X = a) \) ist monoton fallend und beginnt bei \( f_1 = P_1(T) = 0,8 \).

Nun ist jenes kleinste \( n \) gesucht, für das gilt

\( \sum_{a=1}^{n} f_a \geq 0.99 \).

Es ist

\( \sum_{a=1}^{n} f_a = \sum_{a=1}^{n} 0,8 \cdot 0,5^a \prod_{k=1}^{a-1} \left(1 - 0,8 \cdot 0,5^{k-1} \right) \).

Bedient man sich nun eines Reihenrechners (siehe PS), sieht man, dass dieser Wert für \( n \rightarrow \infty \) gegen ungefähr \( 0,921956 \) konvergiert.

Da \( 0,921956 < 1 \) ist, gibt es eine Wahrscheinlichkeit, das bewegliche Ziel nie zu treffen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt \( 1 - 0,921956 = 0,078044 \).

Man kann es übrigens auch kürzer ausdrücken. Sei \( \prod_{k=0}^{\infty} (1 - 0,8 \cdot 0,5^{k}) \) die Wahrscheinlichkeit, nie zu treffen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, wenigstens einmal zu treffen, durch \( 1 - \prod_{k=0}^{\infty} (1 - 0,8 \cdot 0,5^{k}) \) gegeben.

Es gilt für diese Reihe aber

\( 1 - \prod_{k=0}^{\infty} (1 - 0,8 \cdot 0,5^{k}) = 0,921956 < 0,99 \),

siehe https://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=1-product_(k%3D0)%5Einfinity(1-0.8+(1%2F2)%5E(k)) für diese Formel im Online-Rechner.

Damit hast du dieses Ergebnis auf schnellerem Wege erreicht.

Mister

PS: https://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=sum+(+(0.8*(1%2F2)%5E(a-1))*(product++(1-0.8*(1%2F2)%5E(k-1)),+k%3D1+to+(a-1))+),+a%3D1+to+2

a=1bis3

a=1bis10

a=1bis20

a=1bis40

Comments

Vielen dank! Ganz schön kompliziert, frag mich ob er die Frage wirklich so gemeint hat.. Ist für den Rahmen des Kurses eigentlich zu schwierig.

Danke für die Hilfe!

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Dabei hat Mister die eigentliche Schwierigkeit ja noch gar nicht diskutiert.

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Sie liegt darin, zu zeigen, dass die Summe aller dieser Produkte nie größer als 0,99 werden kann.

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Danke für den Hinweis, ich habe die Antwort um die eigentliche Schwierigkeit ergänzt.

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Etwas einfacher hatten wir das oben schon herausgefunden

https://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=1-product_(k%3D1)%5Einfinity(1-0.8+(1%2F2)%5E(k-1))

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Oh, das ist natürlich noch eleganter, ich ergänze mal eben meine Antwort :)

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Oh, das ist natürlich noch eleganter

aber dafür nicht im Mindesten elegant

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Inwiefern ist es nicht elegant? Wie geht es noch eleganter?

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Weil die Arbeit von einer Maschine gemacht wird und somit keine eigene schöpferische Leistung mehr darstellt.

Im Übrigen frage ich mich, ob die "numerische Berechnung eines Grenzwertes" überhaupt möglich ist.
Ich kenne den Algorithmus nicht, nach dem bei Wolframs gearbeitet wird. Aber sollte er etwa folgendermaßen ablaufen :  "Berechne die ersten zehn Partialsummen, wenn sich bei den letzten drei die fünfte Stelle nach dem Komma nicht mehr geändert hat, dann gib das Ergebnis auf vier Stellen gerundet an" - dann ist es natürlich überhaupt kein Beweis, weder für den Reihenwert noch für die Konvergenz der Reihe überhaupt (auch dann nicht, wenn meine Beispielzahlen 10, 3, 5, 4 durch beliebige andere Zahlen ersetzt werden, denn schließlich geht es ums Prinzip.)

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Gibt es eine einfache Darstellung für Grenzwerte von Folgen der Form \( \prod_{k=1}^{n} (1 - a \cdot b^k) \)?

Die Natur der vorliegenden Reihen lässt jedenfalls den Schluss zu, dass immer mehr Nachkommastellen sich nicht ändern, je weiter man in der Partialsummenfolge fortschreitet. Insofern ist ein naives Vorgehen gerechtfertigt.

Das naive Vorgehen muss im Zusammenhang mit der jeweiligen Reihe gesehen werden. Es ist natürlich nicht allgemein gültig.

Im vorliegenden Fall ließe sich aber zeigen, dass ab einem bestimmten Index die Größenordnung des Betrages der Differenz der zugehörigen Partialsumme von ihrem Nachfolger (oder Vorgänger) hinreichend stark abnimmt, sodass führende Stellen sich tatsächlich nicht mehr ändern können.

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... ließe sich aber zeigen, dass ...

Das bezweifle ich nicht. Und so ein Nachweis hätte dann das Prädikat "elegant" verdient.

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Vielleicht hilft das hier:

http://www.mathematik.uni-ulm.de/ReineMath/Mathe-Online/kurse/ft/02-integration/08/r/index.html

Die Konvergenz ließe sich also zeigen. Trotzdem ist mir noch unklar wie man zeigt, dass das Produkt stets größer als 0.01 ist.

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Hi,
hier der Beweis, dass für das Produkt $$ \prod_{k=1}^\infty \left[ 1 - 0.8 \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1}  \right] > 0.01  $$ gilt.
Es ist
$$ \prod_{k=1}^\infty \left[ 1 - 0.8 \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \right] = \prod_{k=1}^2 \left[ 1 - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \right)^{k-3} \right] \cdot \prod_{k=3}^\infty \left[ 1 - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \right)^{k-3} \right] \ge $$
$$ \prod_{k=1}^2 \left[ 1 - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \right)^{k-3} \right] \cdot \prod_{k=3}^\infty \left[ 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{k-3} \right] \ge \prod_{k=1}^2 \left[ 1 - \frac{1}{5} \left( \frac{1}{2} \right)^{k-3} \right] \cdot e^{-\frac{3}{2}} = 0.027 \ge 0.01 $$
Für die letzte Abschätzung s. hier http://math.stackexchange.com/questions/1200575/what-is-the-value-of-prod-i-1-infty-1-frac12i

Das ganze Problem hängt eng mit der q-Pochhammer Serie und dem Pentagonal-Zahlen-Satz von Euler zusammen, die wiederum in Verbindung mit der Jacobi Theta Funktion steht.

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Interessanter Ansatz, der uns aber den genauen Wert des Grenzwertes nicht liefert, wenngleich dieser für die Aufgabenstellung auch nicht von Bedeutung ist.

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Es ist eigentlich genau der Grenzwert der Folge bestimmter q-Pochhammer-Symbole (https://en.wikipedia.org/wiki/Q-Pochhammer_symbol), nämlich mit a = 0.8 und q = 0.5, der hier gesucht wäre, wenn man ihn denn explizit angeben wollen würde.

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Das ist korrekt. Ich kenne den Grenzwert aber nicht und konnte ihn nur so abschätzten und damit zeigen, dass der Wert 0.01 nie unterschritten wird.

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Hatte mich noch vertan beim Exponenten. Richtig ist \( -\frac{3}{2} \) und nicht \( -\frac{2}{3} \). Das macht die Abschätzung gröber, passt aber immer noch. Ich habe das korrigiert.