2 Matrizengleichungen 2 Unbekannte

Question

gegeben sind folgende Matrizengleichungen (n >2):
$$ A\cdot \overrightarrow { x } +B\cdot \overrightarrow { y } =\overrightarrow { 0 } \\ -{ B }^{ T }\cdot \overrightarrow { x } +p\cdot \overrightarrow { y } =p\cdot \overrightarrow { z } $$

$$ A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}  $$

Die zweite Gleichung soll nach y aufgelöst und in die erste Gleichung eingesetzt werden.

- Gesucht sind die (n-2)-Vektoren x und y.
- A ist quadratisch. Wie groß sind alle vorkommenden Vektoren und Matrizen? Sind die Größen eindeutig?

Meine Lösung:
$$ \overrightarrow { y } ={ p }^{ -1 }\cdot (p\cdot \overrightarrow { z } +{ B }^{ T }\cdot \overrightarrow { x } ) $$
Da ich mir unsicher war, wie ich B^T mit dem Vektor x multipliziere, habe ich nicht weiter gerechnet. Möchte die Rechnung allgemein ausführen und anschließend die Werte einsetzen.

EDIT: Gemeint war oben:

$$ A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\\ p=-1\\ { \xrightarrow { z }  }^{ T }=(-1,\quad 0,\quad 1,\quad 3) $$

Comments

Die Formel wird nicht angezeigt:

$$ A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\\ B=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}\\ p=-1\\ { \xrightarrow { z }  }^{ T }=(-1,\quad 0,\quad 1,\quad 3) $$

Answer 1

Hi,
man kommt auf
$$ y = \left[ I - B^T \left(B B^T - A \right)^{-1} B \right] z =  \frac{1}{21}\begin{pmatrix} -16\\-8\\22\\65 \end{pmatrix} $$ und
$$ x = -A^{-1} B \left[ I - B^T \left( B B^T - A \right)^{-1} B \right] z = \frac{1}{21}\begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}$$

Comments

Danke aber ich weiß nicht, wie du auf diese Ergebnisse gekommen bist. Wäre sehr hilfreich, wenn du die Zwischenschritte auch schreiben würdest wie z. B. hier https://www.mathelounge.de/136242/matrizengleichungen-umformen-z-b-a%E2%88%97x%E2%88%97b-c von Der_Mathecoach 

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Die zweite Gleichung nach \( y \) aufgelöst ergibt

$$  y = z - B^Tx $$ Das eingesetzt in dir erste ergibt $$  Ax + B z - B B^Tx = 0 $$ Daraus

$$  x = (BB^T -A)^{-1}Bz $$

\( x \) einsetzen in Gleichung für \( y  \)  ergibt

$$ y = z -B^T (BB^T -A)^{-1}Bz  $$ Hier noch \( z \) ausklammern ergibt die Lösung für \( y\)

Jetzt könnte man aufhören, aber ich habe dieses \( y \) nochmal in die erste Gleichung eingesetzt und das gibt die Lösung für \( x\)

Answer 2

Mit den gegebenen Werten klappt es nicht, denn wenn A quadratisch ist,

sagen wir mal n x n , dann muss x auch n Komponenten haben,

damit A * x definiert ist.

Und B muss n Zeilen haben, damit B*y mit Ax addiert werden kann.

Weil in der 2. Gleichung aber B^T * x vorkommt, muss B^T auch n Zeilen

haben und deshalb muss auch B quadratisch sein vom Typ n x n .

Comments

Ich glaube es geht doch.

\( A \) ist eine (2 x 2) Matrix und \( B \) eine (2 x 4), dann muss \( x \) ein (2 x 1) Vektor und \( y \) ein (4 x 1) Vektor sein. Dann stimmen die Dimensionen für die erste Gleichung.

Bei der zweiten Gleichung ergibt sich

( B^T ) ist eine (4 x 2) Matrix das passt mit dem \( x \) Vektor und ergibt einen (4 x 1 ) Vektor. \( y \) und \( z \) sind ebenfalls (4 x 1) Vektoren und \( p \) ist ein Skalar. Also alles in Ordnung.

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Stimmt, da hab ich was übersehen.