Flussintegral eines Vektorfelds

Question

habe hier ein Problem mit dem Flussintegral: Also wir haben ja ∫ ∫_S² F*n dS = ∫∫_S^2*F(x(u,v))* (x_u ^x x_v)dudv, wobei n=(x_u ^x x_v)

Es wird ja über die Einheitssphäre integriert und die Einheitssphäre ist ja: x²+y²+z²=1

Dann parametrisieren wir das und es kommt raus: x=cosθcosφ; y= cosθsinφ; z=sinθ

wir haben dann             (cosθcosφ)

                       x(θ,φ)= (cosθsinφ ),

                                   (sinθ        ), dieser wird dann dann nach teta und phi abgeleitet und dann bildet man das Kreuzprodukt von den beiden um die äußere Normale zu erhalten, also )→   wobei die Klammer die äußere Seite der Kugel ist und der Pfeil die Normale oder? Bzw. so stelle ich mir das vor

                                  (-cosθsinφ)                                           (-sinθcosφ)                                                     x_φ(θ,φ)= (cosθcosφ ),                x          x_θ(θ,φ)= (-sinθsinφ )                

                                  (       0      )                                           (    cosθ    )

      (cos²θcosφ)

n=  (cos²θsinφ )

      (sinθcosθsin²φ+sinθcosθcos²φ) -->=sinθcosθ

              (3*cosθcosφ*(cosθsinφ)²) = 3*cos³θcosφsin²φ

F(x(θ,φ))=(3*(cosθcosφ)²*cosθsinφ)   =  3*cos³θcos²φsinφ 

               (      (sinθ)³                   )        das jetzt * n = 3*cos³θcosφsin²φ*cos²θcosφ+3*cos³θcos²φsinφ*cos²θsinφ+(sinθ)³sinθcosθ

=3*cos⁵θsin²φcos²φ+3*cos⁵θcos²φsinφ²+sinθ⁴cosθ

=6*cos⁵θsin²φcos²φ+sinθ⁴cosθ

Dann das Integral davon mit den Grenzen 0<=φ<=2π und -π/2<=θ<=π/2

∫^2π₀∫^π/2_-π/2    6*cos⁵θsin²φcos²φ +sinθ⁴cosθ dφdθ

Habe ich irgendwas falsch gemacht oder wie löse ich dieses Integral?

Answer 1

F=(3xy^2,3x^2,y^2,z^3)

wähle Kugelkoordinaten:

x=r*cos(φ)*sin(θ), y=r*sin(φ)*sin(θ),z=r*cos(θ)

--> F=r^3*(3*cos(φ)*sin^2(φ)*sin(θ)^3,3*cos^2(φ)*sin(φ)*sin(θ)^3),cos(θ)^3)

Flächenelememt: dS=r^2*sin(θ)*dφ*dθ

Die Flächennormale steht senkrecht auf der Kugeloberfläche

--> n=e_r=(cos(φ)*sin(θ),sin(φ)*sin(θ),cos(θ))

F*n*dS=r^5*sin(θ)dφ*dθ*[6*cos^2(φ)*sin^2(φ)*sin^4(θ)+cos^4(θ)]

Integral:

A=r^5*∫₀^2π dφ ∫₀^πdθ*sin(θ)*[6*cos^2(φ)*sin^2(φ)*sin^4(θ)+cos^4(θ)]

Das Integral über dφ mache ich zuerst:

cos^2(φ)*sin^2(φ)=(cos(φ)*sin(φ))^2=1/4*sin^2(2φ) Berechnung mit partieller Integration,

∫₀^2π1/4*sin^2(2φ)=π/4

Bei dem 2ten Summanden kommt 2π als Vorfaktor hinzu.

r^5*∫₀^2π dφ ∫₀^πdθ*sin(θ)*[6*cos^2(φ)*sin^2(φ)*sin^4(θ)+cos^4(θ)]= 

r^5*∫₀^πdθ*sin(θ)*[6*π/4*sin^4(θ)+2*π*cos^4(θ)]=r^5*∫₀^πdθ*[6*π/4*sin^5(θ)+2*π*cos^4(θ)*sin(θ)]

Den ersten Term kannst du umschreiben in sin^5(θ)=(1-cos^2(θ))^2*sin(θ), dann hast innere Ableitung mal äußere Ableitung. Bei zweiten Term cos^4(θ)*sin(θ) ist diese Form auch schon gegeben. Beide Fälle kannst du mit mit der Substitution cos(θ)=z lösen.

Ergebnis:

r^5*∫₀^πdθ*[6*π/4*sin^5(θ)+2*π*cos^4(θ)*sin(θ)]=r^5*12*π/5=12*π/5

Comments

danke für die Antwort!

Ich hätte da noch ein paar Fragen falls es dir nichts ausmacht:

Bei den Kugelkoordinaten hätten wir r weglassen können weil es 1 ist oder nicht und gibt es einen bestimmten Grund dafür, dass du diese Kugelkoordinaten genommen hast?

Wie kommt man auf das Flächenelement und wieso benutzt man das hier? Ich weiß, dass es aus der Determinante folgt, aber wieso benutzt man das hier? Für parametrisierte Flächen habe ich die Formel

A =∫∫ |x_u ^x x_v|dudv bzw. A=∫∫ F(x(u,v)) (x_u ^x x_v)dudv = ∫∫F*n*dS

Und wie kommt man auf diese Umformung von sinus und cosinus? Worauf muss ich achten, wenn ich wieder so ein chaos an sinus und cosinus habe?

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Was ich noch vergessen habe zu Fragen, wie kommt man auf die normale?

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Die Flächennormale kannst du auch mit deiner Formel berechnen, aber bei einer Kugel um den Koordinatenursprung zeigt diese immer parallel entlang des radialen Einheitsvektors e_{r .}Dieser hat die Länge eins.dS gibt den Betrag des Flächenelements. Und weil ich Kugelkoordinaten gewählt habe, lautet dS=r^2*sin(θ). Das kann mit der Jacobi Determinante berechnet werden.

 Das r^2 hätte ich weglassen können, weil r=1 ist, aber ich wollte nicht nochmal überall etwas abändern.

Bei der Integration von Potenzen von Sinus und Cosinus muss man halt die üblichen Tricks anwenden, also trigonometrische Umformungen und partielle Integration und Substitution. Im allgemein solltest du die die Stammfunktion von sin^2(x) und cos^2(x) mit partieller Integration bestimmen können.

Alle ungeraden Potenzen können mit Substitution gelöst werden. Alle geraden Potenzen auf sin^2(x) oder cos^2(x) zurückgeführt werden. Da kannst du dir ein paar Beispiele zu anschauen.

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Asoo, also S ist unsere Fläche die wir integrieren wollen und dS ist sozusagen eine inifinitesimales Stück davon und das wird dann alles addiert und man hat die gewuünschte Fläche..

Dadurch, dass wir parametrisieren, so wird auch die Fläche parametrisiert und deswegen müssen wir die Transformationsregel da benutzen. Wenn wir z.B. nicht paramatrisiert hätten, dann wäre dS = dxdydz oder?

Vielen  Dank für die Antwort!

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 Ohne Parametrisierung wäre dS =dxdy und n=(0,0,1). Das Volumenelemt wäre dV=dxdydz. Dann werden aber die Integrationsgrenzen der Kugel schwer zu bestimmen ;)

Hier kannst du dazu nochmal was nachlesen, z.B wie man die flächennormale bei Kugelkoordinaten nachweist.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Oberfl%C3%A4chenintegral

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Sry, unnötiger Kommentar, bin schon selber kurz nach dem schicken drauf gekommen -.-"

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sin(θ)^5=sin(θ)^4*sin(θ), sin(θ)^2=1-cos(θ)^2

sin(θ)^4*sin(θ)=(1-cos(θ)^2)^2*sin(θ)

∫₀^π6*π/4*(1-cos(θ)^2)^2*sin(θ)dθ, substituiere cos(θ)=x, dx/dθ=-sin(θ),dθ=-dx/sin(θ)

Grenzen: cos(0)=1, cos(π)=-1

-->6*π/4*∫₀^π(1-cos(θ)^2)^2*sin(θ)dθ=6*π/4*∫₁^-1 -(1-x^2)^2*dx=6*π/4*∫_-1¹(1-x^2)^2*dx=6*π/4*16/15=8*π/5

nicht so schlimm :)