Taylorpolynom bestimmen cos(2x+pi/2)

Question

Bestimmen sie die Taylor-Reihe für x=a=pi/4:

$$ f(x)=\cos(2x + \pi/2)\\f(\pi/4)=\cos(\pi)=-1\\f'(x)=-2\sin(2x + \pi/2)\\f'(\pi/4)=-2\sin(\pi)=0\\f''(x)=-4\cos(2x + \pi/2)\\f''(\pi/4)=-4\cos(\pi)=4\\ f^{3}(x)=8\sin(2x + \pi/2)~~\\f^{3}(\pi/4)=8\sin(\pi)=0\\ \\f^{2n}(x)=(-1)^?2^{n}\cos(2x + \pi/2)\\\\f^{2n+1}(x)=(-1)^?2^{n}\sin(2x + \pi/2)\\ $$

Was sind die nächsten Schritte? Ich bin dankbar für jede Hilfe :)

Answer 1

f(x) = COS(2·x + pi/2)

Darf man schon verwenden, dass

f(x) = - SIN(2·x)

Die Taylorreihe von SIN(x) kennst du vermutlich schon.

SIN(x) = Σ (k = 0 bis ∞) ((-1)^k*x^{1+2k}/(1+2k)!)

Daher lautet deine Taylorreihe jetzt

- SIN(2x) = Σ (k = 0 bis ∞) (- (-1)^k*(2x)^{1+2k}/(1+2k)!)

Ops. Hierbei habe ich jetzt total übersehen, dass das Taylorpolynom oder die Taylorreihe an einer anderen Stelle aufgestellt werden soll. Aber es gilt für die Taylorreihe ja immer

Tn(x) = Σ (k = 0 bis n) (f^k(a)/k! * (x - a)^k)

Comments

Danke für den Tipp, die sin(x)-Reihe kenne ich zwar, aber ich habe generell Probleme Taylor-Reihen für trig. Funktionen zu erstellen. Besonders einen alg. Ausdruck für die Reihenglieder zu finden fällt mir schwer, da sich das Vorzeichen nicht abwechselnd ändert und auch nicht gleich bleibt. Ich möchte also den Weg zur Reihe verstehen und nicht mein bereits vorhandenes Wissen über die Reihe nutzen. Also wie ich die Reihe finden kann, wenn ich mich gerade bei diesem Kenntnisstand befinde:

$$ f(x)=-1+4/2!(x-\pi/4)^2+...+\frac { f^{2n}(\pi/4)}{n!}(x-\pi/4)^n\\\frac { f^{2n+1}(a)}{n!}(x-a)^n=0   $$

Wäre echt nett, wenn du mir einen Hinweis geben könntest :)

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$$ f^{2n}(a)=(-1)^{n+1}2^{n+1}\\\\f^{2n}(a)=0\\\sum_{n=0}^{\infty}{\frac { (-1)^{n+1}2^{n} }{ n! }}$$

Ich habe einfach mal jegliche Sinus-Terme(da, alle gleich 0) gestrichen, ist die Reihe so korrekt?

Oh, stimmt anscheinend nicht....

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Naja. Die ganzen Sinus Terme Fallen ja weg.

f(x) = COS(2·x + pi/2)

f'(x) = - 2·SIN(2·x + pi/2)

f''(x) = - 2^2·COS(2·x + pi/2)

f'''(x) = 2^3·SIN(2·x + pi/2)

f4(x) = 2^4·COS(2·x + pi/2)

f2n(x) = (- 1)^n·2^{2n}·COS(2·x + pi/2)

COS(2·x + pi/2) = Σ (k = 1 bis ∞) ((- 1)^k·2^{2·k - 2}/(2·k - 2)!·(x - pi/4)^{2·k - 2})

oder 

COS(2·x + pi/2) = Σ (k = 0 bis ∞) (- (- 1)^k·2^{2·k}/(2·k)!·(x - pi/4)^{2·k})