Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung von f im Entwicklungspunkt (1, \pi, e^{2}) .

Question

Text erkannt:

Sei \( f(x, y, z)=x^{2}+y^{3}+z x y+x^{2} y \). Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung von \( f \) im Entwicklungspunkt \( \left(1, \pi, e^{2}\right) \).

Das ist doch schion ein Polynom. Was muss man denn nun machen?

Comments

Das ist zwar ein Polynom, aber eins um (0,0,0) entwickelt In der Aufgabe geht es um einen anderen Entwicklungspunkt. Schau Dir die Formel genau an.

Answer 1

Meine Methode wäre:

setze \(u=x-1,\; v=y-\pi, \; w=z-e^2\), also

\(x=u+1, \; y=v+\pi, \; z=w+e^2\). Setze diese

Substitutionen in \(f\) ein und ordne das entstehende

Polynom nach Potenzen von \(u,v,w\). Dann ersetze

\(u\) durch \((x-1)\), \(v\) durch \((y-\pi)\) und

\(w\) durch \((z-e^2)\).

Answer 2

Aloha :)

$$\small f(x;y;z)=f(1+(x-1);\pi+(x-\pi);e^2+(z-e^2))$$$$\small\phantom{f(x;y;z)}=f(1+\Delta x;\pi+\Delta y;e^2+\Delta z)$$$$\small\phantom{f(x;y;z)}=(1+\Delta x)^2+(\pi+\Delta y)^3+(1+\Delta x)(\pi+\Delta y)(e^2+\Delta z)+(1+\Delta x)^2(\pi+\Delta y)$$

Ausrechnen würde ich das nicht, wird sehr schlimm. Die Werte \(\Delta x\), \(\Delta y\) und \(\Delta z\) sind jeweils die Abweichungen der Koordinaten zum Entwicklungspunkt \((1;\pi;e^2)\).