Flussintegral berechnen mit Gauß und kugelkoordinaten

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Vektorfeld v :ℝ³ → ℝ³ mit

\( v(x, y, z)=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \)

und die Halbkugel

\( H=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z \geq 0\right\} \)

Aus der Halbkugel H schneiden wir den Kegel

\( K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leq z \leq 1, x^{2}+y^{2}<(1-z)^{2}\right\} \)

heraus. Den entstandenen Körper bezeichnen wir mit M = H \ K.

Wir bezeichnen den Rest der Oberfläche von M mit D = dM \ B, also

\( D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z>0\right\} \cup\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 0<z \leq 1, x^{2}+y^{2}=(1-z)^{2}\right\} \)

Berechnen Sie den durch den Rest der Oberfläche nach außen dringenden Fluss

\( \int \limits_{D} v \cdot \overrightarrow{\mathrm{d} A} \)

Problem/Ansatz:

bei der a) bin ich mir nicht ganz sicher ob mein Ansatz richtig ist.

und b) komme ich irgendwie nicht auf die lösung von 15pi.wo liegt der Fehler?

PS: sry dass ich ganze Bilder mit Handschrift habe, aber das ist mir echt zu viel Tipp und klickarbeit.

Comments

Hallo,

es ist etwas schwer zu verfolgen. Aber für mich sieht es so aus:

1. Die Jacobi-Matrix für Kugelkoordinaten hat \(r^2\), nicht \(r\)

2. Du willst die Divergenz über die Halbkugel ohne den Kegel berechnen, da muss Du die Divergenz über den Kegel subtrahieren, nicht addieren.

3. Über die Divergenz erhältst Du den Fluss durch die gesamte Oberfläche, Du musst noch überlegen, ob der Boden das Halbkreises dazu etwas beiträgt.

Gruß

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Hallo,

genau r^2 vergessen... das war der Fehler.

und dann eben noch den Fluss über den Kegel im Inneren abziehen.

so kommt 15pi aus der musterlösung raus.

zu 3. da ich 15pi habe, heißt es dass der boden wohl nichts beiträgt. wie kann ich das schriftlich kontrollieren?

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Ok den Fluss durch den Boden habe ich doch bei Teil a) berechnet.

ich komme zwar auf 0 wie auf der musterlösung. aber ist mein lösungsweg richtig?

Das ist der Boden des körpers, wenn man vom halbkreis den Kegel abzieht.

\( B=\left\{\ldots . \quad 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leq 4, \quad z=0\right\} \)

div 2 da z = 0 ist?

\( \operatorname{div}(u)=\bar{\nabla} \cdot \vec{v}=1+1 +0 = 2\)

\( \int \limits_{1}^{2} \int_{0}^{2 \pi} 2 r d r d \phi d z=\left.\int 2 \pi \quad r^{2}\right|_{0} ^{2} dz=\left[8 \pi \right]_{z=0}  = 0\)

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Den Fluss durch den Boden kannst Du nicht über den Divergenzsatz berechnen, der gilt doch nur für die Oberfläche eines Körpers.

Du musst das Flussintegral über seine Definition berechnen.

Gruß

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ah ok gauß in 2d geht wohl nicht...

und mein kreuzprodukt oben ist falsch. aber dann doch richtig da ich z= 0 nehmen muss. und somit ist der normalenvektor * dA = 0. und das muss ich dann am ende bei b) hinzuaddieren... aber da das 0 ist ändert sich nichts.

ok danke dir