Extrema bei Funktion mit 3 Variablen

Question

Bestimmen Sie die Maxima und Minima von 

f:ℝ^3 ∋ (x,y,z) ↦ (xy - z^4 -2(x^2 + y^2 - z^2) ∈ ℝ auf dem Vollepsiloid X := {(x,y,z) | x^2 + y^2 + 2z^2 ≤ 8}

Tipp: Diskutieren Sie Inneres und Rand getrennt und benutzen Sie für den Rand die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Habe Funktionen mit 2 Variablen berechnet und habe das Prinzip verstanden, aber bei 3 bin ich schon wieder vollkommen raus. Habe grad f(x,y,z) gebildet und wollte ihn =0 setzen, aber weiß nicht recht welche Gleichung ich wohin einsetzen muss.

Der Tipp hilft mir ehrlicherweise auch nicht recht weiter.

Comments

Poste mal Deinen Lagrange-Ansatz und die partiellen Ableitungen, die Du daraus gewonnen hast.

Dann schaumama ...

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Bei Lagrange hörte bei mir schon auf. Verstehe nicht wie ich das anwenden soll

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f_x = y-4x ; f_xx = -4

f_y = x-4y ; f_yy = -4

f_z = -4z^3 + 4z ; f_zz = -12z^2 + 4

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wo ist denn Dein Lagrange dabei geblieben ?

warte mal ein paar Minuten - ich stell das für Dich  zusammen ...

Answer 1

$$ f (x,y,z) = xy - z^4 -2(x^2 + y^2 - z^2) $$
$$NB :0=x^2 + y^2 + 2z^2 - 8 $$
$$ \Lambda (x,y,z,\lambda) = xy - z^4 -2(x^2 + y^2 - z^2) - \lambda(x^2 + y^2 + 2z^2 - 8) $$
$$ \Lambda (x,y,z,\lambda) = xy - z^4 -2x^2 -2y^2 +2 z^2 - \lambda(x^2 + y^2 + 2z^2 - 8) $$

und jetzt die partiellen Ableitungen nach x,y,z und Lambada bilden:

$$ \Lambda (x,y,z,\lambda) = xy - z^4 -2x^2 -2y^2 +2 z^2 - \lambda(x^2 + y^2 + 2z^2 - 8) $$
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$$ \frac {\partial \Lambda (x,y,z,\lambda)}{\partial x} = y  -4x  - 2x \lambda$$
$$ \frac {\partial \Lambda (x,y,z,\lambda)}{\partial y} = x   -4y  - 2y \lambda$$

EDIT:\\

[$$ \frac {\partial \Lambda (x,y,z,\lambda)}{\partial z} =  - 4z^3  +4 z - 2 z \lambda$$]

korrigiert:$$ \frac {\partial \Lambda (x,y,z,\lambda)}{\partial z} =  - 4z^3  +4 z - 4 z \lambda$$

$$ \frac {\partial \Lambda (x,y,z,\lambda)}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + 2z^2 - 8 $$

Dann diese Nullsetzen und versuchen zu lösen ...

$$0 = y  -4x  - 2x \lambda$$
$$ 0 = x   -4y  - 2y \lambda$$
$$0 =  - 4z^3  +4 z - 2 z \lambda$$
$$ 0 = x^2 + y^2 + 2z^2 - 8 $$

Comments

das ist ja einfach! war mir nicht bewusst.

muss ich dann bis zur zweiten partiellen Ableitung machen und dann mit Hesse-matrix, etc weiterreichen ?

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$$ 0 = y  -4x  - 2x \lambda$$
$$ 0 = x   -4y  - 2y \lambda$$
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$$  y  =4x  + 2x \lambda$$
$$ 0 = x   -4(4x  + 2x \lambda)   - 2(4x  + 2x \lambda)  \lambda$$
$$ 0 = x   -16x  -8x \lambda   - 8x \lambda  -4x \lambda^2 $$
$$ 0 =   -15x  -16x \lambda    -4x \lambda^2 $$
$$ 0 = x \cdot (  -15  -16 \lambda    -4 \lambda^2) $$
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Trennung der Faktoren wegen Nullprodukt:
$$ 0 = x $$
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$$ 0 =   -15  -16 \lambda    -4 \lambda^2 $$
$$ 0 =    4 \lambda^2  + 16 \lambda  +15$$
gibt zwei Lösungen durch Mitternachtsformel

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schau erstmal was da so rauskommt und und hol Dir die Funktionswerte der kritischen Stellen.

Wenn das nicht ergiebig sein sollte, dann führt kein Weg an der häßlichen Matrix vorbei ...

... ist halt n Haufen Arbeit bei 4x4 Zweitableitungen

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müsste die Ableitung nach z nicht "-4z^3 + 4z - 4λz" sein?

und die Ableitung nach λ "-x^2 + y^2 - 2z^2 + 8"

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Die Ableitung nach z hab ich versenkt - Du bist da richtig mit Deiner Verbesserung.

Die Ableitung nach Lambda ergibt immer die Nebenbedingung umgestellt nach 0= bla bubb nebenkrams...

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Hmm..

hab jetzt x=0, y=0, z1=0, z2= √(1-λ)

würde jetzt alles in die Ableitung von λ einsetzen und dann nach λ auflösen ?

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es gibt schonmal zwei Lambda-Werte aus der Mitternachtsformel - hast Du die noch nicht ?
daraus folgen 5 z-Werte:

$$ 0= −4z^3+4z−4zλ $$
$$ 0= −4z(z^2-1+λ) $$
Teilung nach Faktoren wegen Nullprodukt:
$$ z_1=0 $$
$$ 0= z^2-1+λ $$
$$ z^2=1-λ $$
$$ z_{2,3,4,5}=\pm \sqrt{1-λ_{1,2}} $$
$$ z_{2,3}=\pm \sqrt{1+\frac32} $$
$$ z_{2,3}=\pm \sqrt{\frac52} $$
$$ z_{4,5}=\pm \sqrt{1+\frac52} $$
$$ z_{4,5}=\pm \sqrt{\frac72} $$

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und jetzt auch DAS noch !!!

$$ 0=y−4x−2xλ $$
x=0:$$ 0=y−4\cdot 0−2\cdot 0\cdot λ $$
$$y_1=0$$
lambda= -3/2:
$$ 0=y−4x−2x\cdot \frac{-3}2 $$
$$ 0=y−4x+3x $$
$$ y_2=x $$
lambda= -5/2:
$$ 0=y−4x−2x\cdot \frac{-5}2 $$
$$ 0=y−4x+5x $$
$$ y_3=-x $$

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Die Ableitung nach Lambda ergibt immer die Nebenbedingung umgestellt nach 0= bla bubb nebenkrams... 

Rein Formal ergibt es "- Nebenbedingung = 0". Allerdings könnte man hier auch mit -1 multiplizieren und man erhält "Nebenbedingung = 0"

Aber oft wird die Lagrangefunktion auch mit + λ(Nebenbedingung) aufgestellt und dann kommt in der Tat bei der Ableitung nach λ einfach nur Nebenbedingung = 0 heraus.

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es ist völlig wurscht, ob die Nebenbedingung =0 addiert oder subtrahiert wird - daher ist es ebensoschnuppe, ob die Ableitung davon positiv oder negativ Null ist.

Die Fragestellerin hat allerdings die Vorzeichen innerhalb der Bedingung völlig verwürfelt - das ist dann Blutwurscht oder Sternschnuppe.

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und dessen nicht genug:

x=y:$$ 0 = x^2 + y^2 + 2z^2 - 8 $$
$$ 0 = x^2 + x^2 + 2z^2 - 8 $$
$$ 0 = 2 \, x^2 + 2z^2 - 8 $$
$$ 0 =  x^2 + z^2 - 4 $$
$$   x^2 + z^2 =2^2 $$
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x=y:$$ 0 = x^2 + y^2 + 2z^2 - 8 $$
$$   y^2 + z^2 =2^2 $$
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x=-y:$$ 0 = x^2 + y^2 + 2z^2 - 8 $$
$$   x^2 + z^2 =2^2 $$
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x=-y:$$ 0 = x^2 + y^2 + 2z^2 - 8 $$
$$   y^2 + z^2 =2^2 $$

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Oh je, das ist ja eine richtige Mörderaufgabe. 

Super, dass es dafür nur mickrige 4Punkte gibt...

Danke für die Hilfe. Mir ist das ein oder andere verständlicher geworden.

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Wobei du pleindespoir für die Mühe natürlich keine 4 Punkte geben kannst. Aber du könntest die Beantwortung auszeichnen.

Das zeigt dem Beantworten dann dass du es verstanden hast und seine Arbeit anerkennst.

Viele Bundesländer bewerten die Aufgaben in Abiturarbeiten nicht Aufwandsgerecht. So werden besonders schwierige und aufwendige Aufgaben oft nur mit mikrigen Punkten bewertet, damit es nicht so tragisch ist, wenn Schüler diese Aufgaben nicht lösen.

Daher müssen auch bei Abituraufgaben soweit ich weiß immer die Berwertungspunkte angegeben werden, damit der Schüler abschätzen kann, was er sich getrost sparen kann weils Aufwandsgerecht eh zu wenig Punkte gibt :)

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Wenn man betrachtet, dass nach 3 Stunden noch nicht mal alle stationären Stellen zusammengesammelt wurden und davon noch 16 zweite Ableitungen gemacht werden sollen, in die die vielen kritischen Punklte eingesetzt werden sollen ...

... wenn es sonst keine Aufgaben bei der Abiprüfung gibt ist's ok ;)

Bin ja echt froh, dass ich das schon längst hinter mir habe!