Real- und Imaginärteil berechnen von on (3-√3*i)^100/(3+√3*i)^100

Question

Zur Aufgabe steht den Real- und Imaginärteil von (3-√3i)¹⁰⁰/(3+√3i)¹⁰⁰ zu berechnen. Aufgrund sehr hilfreicher Member bei einer vorherigen Aufgabe bekam ich gesagtg es stünde zur Möglichkeit die vorhandene Form in die Polarform umzurechnen, allerdings hab ich keine ahnung wie ich hier vorgehen soll oder ob ich einfach die Division des Terms vornehmen sollte also: (3-√3i)¹⁰⁰/(3+√3i)¹⁰⁰=((3-√3i)¹⁰⁰*(3-√3i)¹⁰⁰)/((3+√3i)¹⁰⁰/(3+√3i)¹⁰⁰)

Als Ergebnis hätte ich dann ((9+3)¹⁰⁰+(-3√3i-3√3i)¹⁰⁰)/(9-3)¹⁰⁰+(3√3i-3√3i)¹⁰⁰=(12/6)+(2*(-3√3)/6)

Bin ich hier komplexx auf dem Holzweg? Wenn ja wie bekomm ich den Term in die Polarform oder wie löse ich ihn ?

Danke schonmal, klasse Forum

Answer 1

$$ \frac{(3-√3i)^{100}}{(3+√3i)^{100} }$$
$$ \left(\frac{\sqrt 3( \sqrt3-i)}{\sqrt 3(\sqrt3+i) }\right)^{100}$$
$$ \left(\frac{( \sqrt3-i)}{(\sqrt3+i) }\right)^{100}$$
$$ \left(\frac{( \sqrt3-i)( \sqrt3-i)}{(\sqrt3+i)( \sqrt3-i) }\right)^{100}$$
$$ \left(\frac{ \sqrt3^2-i\,2 \sqrt3-i^2}{3-i^2 }\right)^{100}$$
$$ \left(\frac{ 3-i\,2 \sqrt3+1}{3+1 }\right)^{100}$$
$$ \left(\frac{ 4-i\,2 \sqrt3}{4 }\right)^{100}$$
$$ \left( 1-i\,\frac{ \sqrt3}2\right)^{100}$$
und jetzt erst Polarform zum Potenzieren bilden!

EDIT: irgendwas stimmt hier nicht, aber ich kanns nicht finden :-((

Comments

Vielen Dank erstmal.

Ich weiß leider nicht wie ich diese nun bilde. Gibt es eine alternative Lösung so dass ich z.b. sage √3i=√3*e^i(π)/4 also dass √3i= sqrt(3) e^{45 i °} ist? Weil so haben wir es in der Übung meist gemacht. Sorry dass ich so auf dem Schlauch stehe.

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$$z= 3-i √3 $$
$$\mid z\mid = \sqrt{3^2+\sqrt3^2}$$
$$\varphi=  \arctan\frac{-\sqrt3}{3}$$

$$z= 2 \sqrt3 \quad e^{-i \, \frac\pi6 }  $$

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Es stellt sich mir die Frage, ob da ganz oben in der Aufgabenstellung die "i" noch unter die Wurzel gehören oder vermutlich eher nicht.

Wie ist den die Originalaufgabe notiert ?!

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Wieder dankesehr, das i kommt nicht mit unter die wurzel ich kriegs irgendwie nich hin die Formeln so übersichtlich zu schreibe. Ich kann alles bis aufs letzte z nachvollziehen.. verstehe nich wieso z=23√e−iπ6???

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Das ist der Betrag.. sorry hat sich erledigt :D

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Jetzt hätte ich noch die Frage wie ich auf e^-i*π/6 komme. Phi = -30° haben wir ausgerechnet aber wie komm ich auf die Exponentialform? Weil π=180° ? Danke :)

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Dann könnte ich ja die beiden Terme kürzen da beide das gleiche z haben. Dann hätte ich (e^-i30°/e^i30°)¹⁰⁰ dies wäre dann e^i6000° laut aufzeichnungen und dann die 6000/360=16.67... aber ich benötige ja Imaginärteil und Realteil und ich habe ja erst eine Ziffer. Wieso haut das nicht hin?

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$$ \left( \frac{     2 \sqrt3 \quad e^{-i \, \frac\pi6}  }   {2 \sqrt3 \quad e^{+i \, \frac\pi6}}\right)^{100}$$
$$ \left( \frac{    e^{-i \, \frac\pi6}  }   { e^{+i \, \frac\pi6}}\right)^{100}$$
$$ \left(     e^{-i \, \frac\pi6}     \cdot \frac1{e^{+i \, \frac\pi6}}\right)^{100}$$
$$ \left(     e^{-i \, \frac\pi6}     \cdot e^{-i \, \frac\pi6}\right)^{100}$$
$$ \left(     e^{-i \, (\frac\pi6+\, \frac\pi6)}    \right)^{100}$$
$$ \left(     e^{-i \, \frac\pi3}    \right)^{100}$$
Betrag:
$$1^{100}=1$$
Winkel:
$$\frac\pi3    \cdot100$$

Answer 2

 (3-√3i)¹⁰⁰/(3+√3i)¹⁰⁰

⁼  ((3-√3i)/(3+√3i))¹⁰⁰

=( (√( 9 + 3) * e^{-  π/6 * i}) / ( √(9 + 3) * e^{ π/6 * i}) ) ^100      | kürzen

= ( e^{-π/6 * i} * e^{ -π/6 * i} )^100

= ( e^{- π/3 * i} ) ^100               100 = 96 + 4

=  ( e^ ( -π/3 * i) ^{( 6 * 16) + 4}

=  1 * e^ (- 4π/3 * i) 

= e^ ( 2π/3 * i) 

= - 1/2 + √3/2* i