Erste Ableitung bilden + Vereinfachen. y = f(x) = (sin x)^{1-x} .... sin x>0

Question

hier mal mein Ansatz für die Ableitung dieser Funktion.

Komme aber leider nicht weiter, wäre daher super, wenn mir das kompakteste Ergebnis + Lösungsweg zeigen könnte.

Answer 1

Das kannst Du mit der log Ableitung machen (siehe hier)

https://elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_281/modul_2/teil_7/node31.html

Dazu sind generell 2 Schriitte nötig:

1. Log. der Gleichung

2. Differenzieren der Gleichung

ln (y)= ln ((sin(x)^{1-x})

ln (y)= (1-x) *ln ((sin(x)

y '/y = ((1-x) *ln ((sin(x)) ' ---------->rechte Seite Ableitung durch Produktregel

y '/y = -ln(sin(x)) + ((1-x) *cot(x))

y '= ( -ln(sin(x)) + ((1-x) *cot(x))) * ((sin(x)^{1-x})

Comments

Aber das MINUS zwei letzten Schritte verstehe ich nicht.

Laut Produktregel: u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)

Deine Lösung:

...

y '/y = -ln(sin(x)) - ((1-x) *cot(x))

y '= ( -ln(sin(x)) - ((1-x) *cot(x))) * ((sin(x)^1-x)

Müsste es dann nicht lauten:

y '/y = -ln(sin(x)) + ((1-x) *cot(x))

y '= ( -ln(sin(x)) + ((1-x) *cot(x))) * ((sin(x)^1-x)

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ja sicher Danke, habs geändert.

Answer 2

Bitte bei einem x im Exponenten nicht die Potenzregel zum Ableiten nehmen !

f(x) = SIN(x)^{1 - x}

f'(x) = - SIN(x)^{1 - x}·LN(SIN(x)) - x·SIN(x)^{-x}·COS(x) + SIN(x)^{-x}·COS(x)