Prüfen ob die Funktion einen Grenzwert besitzt im Punkt (0|0)

Question

Zunächst :
f(x,y) = x^2/y

Kann ich einfach den limes für (0 , y) betrachten und erhalte:

limes y-> 0 von  0 /y   = 0

Und limes für (x,x^3) und erhalte:

f(x,x^3) = x^2/x^3= 1/x

limes x-> 0 von 1/x  = unendlich

=> es existiert kein Grenzwert

2.

f(x,y) = y/x * (e^x -1)

Betrachten wir:
f(x,0)

limes x->0 von f(x,0) = 0

Ich finde nun keine weiter Richtung, die nicht gegen 0 läuft. Vermutung: Grenzwert liegt bei 0. Wie zeige ich das nun? Für Epsilon-delta sehe ich da keine Möglichkeit gut abzuschätzen.

Comments

Bei der zweiten Funktion kann man eventuell nutzen, dass e^{x}≈x+1 bzw. e^{x}>=x+1 für x nahe 0 gilt.

Dann kürzt sich das x im Nenner raus und y  geht gegen 0 gehen.Dann hat man auch alle Richtungen abgedeckt.

Answer 1

 Wenn du den limes für (0 , y)  betrachten wolltest, müsstest du auch den limes für (x,0) betrachten, das aber in diesem Fall nicht erlaubt ist.

Du kannst zum Beispiel y=mx^2 betrachten. Dann siehst du dass der limes abhängig von m ist, also existiert er nicht.

Comments

So wie ich es verstehe, hat Marvin bei 1) mit Hilfe von 2 Richtungsableitungen mit unterschiedlichen Ergebnis gezeigt, dass der Grenzwert nicht existiert. Das genügt doch.

Bei 2) hatte ja jc2144 einen guten Vorschlag.

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Ja, es sind zwei verschiedene Wege zu zeigen dass der Limes nicht existiert.

Beim einen Weg, betrachten wir als erstes x=0 und findet den limes wenn y->0 und danach betrachtet man y=0 und findet den limes wenn x->0.

Beim zweiten Weg setzt man y=mx^p , p ∈ ℕ und wenn der limes abhängig von m ist, existiert er nicht.

Den ersten Weg können wir in diesem Fall nicht anwenden, da die Funktion nicht definiert ist für y=0.

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Ich sehe dein Problem noch nicht bei: 

" limes y-> 0 von  0 /y   = 0  "

Nimm z.B. Hospital

limes y-> 0 von  0 /y   = lim 0/1 = 0

Definitionslücken bedeuten doch nicht automatisch, dass der Grenzwert nicht existiert. 

"da die Funktion nicht definiert ist für y=0."

Aber für x= 0 ist sie definiert. 

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Ich sehe da kein Problem. Ich meinte nur dass man den Weg den ich oben beschrieben habe nicht in diesem Fall benutzen kann.

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Alles klar.

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Meinst du damit meinen Weg?
Ich nähere mich dem Punkt (0,0) doch aus zwei verschiedenen Richtungen an. Das ist ja unabhängig davon, ob die Funktion im Punkt (0,0) existiert.

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Nein, ich meinte diesen:

Beim einen Weg, betrachten wir als erstes x=0 und findet den limes wenn y->0 und danach betrachtet man y=0 und findet den limes wenn x->0.


In den Buch von Marsden&Tromba, werden die Wege die ich beschrieben habe, benutzt.


Ich habe deinen nochmal gelesen, er ist auch richtig.