Funktion bijektiv und Umkehrfunktion im R^2? f(x) = (cos x , sin x)

Question

ich soll zeigen, dass die Funktion

f(x) = (cos x , sin x)

im Intervall ( 0 , 2PI ) bijektiv ist.

1. injektiv: Da der Sinus in diesem Intervall injektiv ist, ist es die gesamte Funktion. ( cos nimmt zwei mal den Wert 0 an, aber da dann jeweils ein anderer Wert in der y-Koordinate angenommen wird, ist das nicht weiter schlimm)

2. surjektiv: Sinus bildet nach [0,1] und Cosinus bildet in das Intervall [ 0 , 1) ab. Das in Kombination ergibt S^1 \ (1,0)  als Wertemenge.

=> bijektiv

Desweiteren möchte ich nun zeigen, dass die Umkehrfunktion auf diesem Intervall auch stetig ist.

Kurze Frage vorweg: Warum ist die Umkehrfunktion nicht einfach (arccos x , arcsin y) ?

Ich leite einmal ab und bilde die Jacobimatrix:

-sin x 0

0     cos y

Mithilfe der Determinanten : Invertierbar wenn sin x und cos y ungleich 0 sind

=> nicht invertierbar für y= 1/2 Pi und y= 3/2 Pi

=> Auf jeden Fall stetig bis auf die beiden Ausnahmen für die y Werte. Ich schließe so aber nicht aus, dass sie auch dort stetig ist. Wie kann ich zeigen, dass die Umkehrfunktion dort stetig ist?

Comments

Warum ist der Sinus auf ( 0 , 2*pi ) injektiv?
Es ist beispielsweise sin( pi/4 ) = sin( 3*pi/4 ) = sqrt(2)/2.

Sollen sowohl x als auch y aus ( 0 , 2*pi ) sein?

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Da die Funktion zwei Argumente hat, könnte gemeint sein, dass sie auf dem Rechteck \( [0, 2\pi) \times [0, 2\pi) \) bijektiv ist, was allerdings nicht stimmt angesichts der mehrfachen Nullstellen auf diesem Rechteck.

Somit ist wohl die Funktion \( f(x) = (\sin(x), \cos(x)) \) auf dem Intervall \( [0, 2\pi) \) gemeint.

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PS: Mit "mehrfach" meine ich, dass es mehr als eine Nullstelle auf dem Rechteck gibt, nicht aber, dass es Nullstellen gibt, die mehrfach sind.

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PPS: Mit Nullstellen meine ich Punkte \( (x, y) \), für die \( f(x, y) = (0, 0) \) gilt.

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Oh natürlich. Es ist :
f(x) = ( cos x , sin x) gemeint das Intervall bleibt bei ( 0, 2*Pi)
Wie kann ich nun diese Eigenschaften beweisen, wenn ich weiß dass die einzelnen Kompenenten nicht injektiv sind?
Wäre es möglich Surjektivität über die Polarkoordinaten zu beweisen? Die Funktion ist ja eine Art "Abwandlung" dieser?  (x und y Wert vertauscht , r = 1)

Answer 1

f(x) = ( cos x , sin x) gemeint das Intervall bleibt bei ( 0, 2*Pi) 

beschreibt doch schlicht den Einheitskreis, wobei genau der Punkt (1, 0) fehlt. 

(cos x, sin x) betrachte ich als Zeiger vom Ursprung aus.

x steht dann für den Winkel und das Ganze ist problemlos invertierbar, wenn du den Wertebereich geeignet als Menge beschreibst. 

Comments

Warum ist das Ganze problemlos invertierbar?

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f ordnet jedem Winkel x zwischen 0 und 360° einen Zeiger zu.

Dann kannst du doch auch jedem Zeiger wieder seinen Winkel zuordnen (jedenfalls graphisch).

Nun musst du dir nur noch überlegen, wie das rechnerisch gehen könnte. Die Vorzeichenkombination verwendest du, um den Quadranten festzulegen. Dann kannst du mit den "normalen" arcsin, arccos, arctan arbeiten.

Damit es keinen Salat mit den Benennungen gibt: Nenne den ursprünglich gegebenen Winkel x vielleicht besser t.

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Meine Antwort bezieht sich übrigens auf den Kommentar:

"Es ist : 

f(x) = ( cos x , sin x) gemeint das Intervall bleibt bei ( 0, 2*Pi)  "und ich argumentiere im Prinzip mit dem Video 1 hier https://www.matheretter.de/wiki/einheitskreis 

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Alles klar,danke. Ich versuche mich mal dran.