Adjungierte Abbildung bestimmen

Question

Habe folgende Aufgabe zu lösen:

Sei V die Menge {f ∈ ℝ[X] | grad f ≤ 2}. Diese wird durch das Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∑¹_i=-1 f(i)g(i)

zu einem euklidischen Vektorraum. Selbiges gilt für ℝ mit dem Skalarprodukt ⟨r,s⟩ := rs.

a) Bestimmen Sie zu der Einbettung j: ℝ → V, r ↦ rX, die adjungierte Abbildung j* .

b) Sei Φ: V → ℝ die lineare Abbildung ∑²_i=0 a_i Xⁱ  ↦ ∑²_i=0  a_i . Berechnen Sie die adjungierte Abbildung Φ^* .

Habe als kleiner Ansatz für die a)

⟨f, j(s)⟩ = ⟨j^*(f), s⟩

= ⟨aX² + bX + c, j(s)⟩ = ⟨j^*(s), s⟩